Como um conhecedor de análise dimensional e semelhança dinâmica, (a) obtenha um conjunto de grupos adimensionais, utilizando o Teorema de pi de Buckingham, que possam ser usados para correlacionar dados experimentais de um escoamento sobre um transdutor sonar liso de formato esférico, lembrando que esse escoamento gera uma força de arrasto sobre o transdutor sonar. (b) O arrasto deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento (viscosidade cinemática do ar =1,5 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). O protótipo, uma esfera de 0,5 \mathrm{~m} de diâmetro, deve ser rebocado a 2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na água do mar (viscosidade cinemática da água do mar =1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ). O modelo tem 150 mm de diâmetro. Determine a velocidade de teste requerida no ar; (c) a força de arrasto sobre o modelo em teste é de 2,8 \mathrm{~N}, nesse caso, estime a força de arrasto no protótipo.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Perguntas:
    (a) obter um conjunto de grupos adimensionais (usar o Teorema \Pi de Buckingham) que sirvam para correlacionar dados de arrasto de um transdutor esférico liso;
    (b) encontrar a velocidade de ensaio no túnel de vento (ar) para que o modelo seja dinamicamente similar ao protótipo na água do mar;
    (c) a partir da força de arrasto medida no modelo, estimar a força de arrasto no protótipo.
  • Variáveis relevantes (extraídas do enunciado e do problema físico):
    • Força de arrasto: F_D (unidade: \mathrm{N}).
    • Diâmetro da esfera: D (unidade: \mathrm{m}).
    • Velocidade de escoamento relativa: U (unidade: \mathrm{m/s}).
    • Densidade do fluido: \rho (unidade: \mathrm{kg/m^3}) — não fornecida no enunciado, verá que vou assumir valores padrão mais adiante porque são necessários para (c).
    • Viscosidade cinemática do fluido: \nu (unidade: \mathrm{m^2/s}). Valores fornecidos:
      • ar: \nu_{\text{ar}} = 1,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
      • água do mar: \nu_{\text{água}} = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}á.
  • Dados numéricos do problema:
    • Protótipo: D_p = 0,50\\ \mathrm{m}, U_p = 2,8\\ \mathrm{m/s}, \nu_{\text{água}} = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}á.
    • Modelo: D_m = 0,150\\ \mathrm{m}, força medida F_{m} = 2,8\\ \mathrm{N}, ar com \nu_{\text{ar}} = 1,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
Observação importante (não foi pedido, mas é necessário para calcular numéricos): o enunciado não deu as densidades \rho_{\text{ar}} e \rho_{\text{água}}á. Para estimar o arrasto na parte (c) vou assumir valores padrão de referência (isto será declarado onde usados).

Passo 2

Aplicando o Teorema \Pi de Buckingham — escolha de variáveis e número de grupos.
  • Lista de variáveis que controlam F_D (assumimos esfera lisa, escoamento incompressível, temperatura constante):
    F_D,\\ D,\\ U,\\ \rho,\\ \nu.
  • Número total de variáveis: n=5. Número de dimensões fundamentais envolvidas (massa M, comprimento L, tempo T): k=3. Então o número de grupos adimensionais é n-k=2. Precisamos encontrar duas \Pi-grupos independentes.
  • Escolha de variáveis repetidas (cobrem M,L,T): \rho,\\ U,\\ D. Usarei essas como repetidas para formar os grupos.

Passo 3

Formação e interpretação dos dois grupos \Pi.
  • Procuramos \Pi_1 envolvendo F_D. Procuro expoentes a,b,c tais que \Pi_1 = F_D \, \rho^a \, U^b \, D^cseja adimensional. Dimensões: [F_D] = M L T^{-2},\quad [\rho]=M L^{-3},\quad [U]=L T^{-1},\quad [D]=L.Impondo M^0 L^0 T^0 obtemos sistema M:\\\ 1 + a = 0,
L:\\\ 1 -3a + b + c = 0,
T:\\\ -2 - b = 0.
Da terceira equação b = -2. Da primeira a = -1. Substituindo na segunda:
1 -3(-1) +(-2) + c = 0 \Rightarrow 1 +3 -2 + c = 0 \Rightarrow 2 + c = 0 \Rightarrow c = -2.
Logo
\Pi_1 = F_D\,\rho^{-1}\,U^{-2}\,D^{-2} = \frac{F_D}{\rho U^2 D^2}.
Este grupo é proporcional ao coeficiente de arrasto convencional. De fato, usando a área projetada A=\dfrac{\pi D^2}{4}, o coeficiente de arrasto definido usualmente é
C_D = \frac{F_D}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 A} = \frac{F_D}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 (\pi D^2/4)} = \frac{4}{\pi}\,\frac{F_D}{\rho U^2 D^2},
portanto \Pi_1 é proporcional a C_D. Trabalharei com C_D porque é a forma prática e conhecida.
  • O segundo grupo \Pi_2 vem naturalmente da combinação de U,\\ D,\\ \nu:
    \Pi_2 = \frac{U D}{\nu} = \mathrm{Re},
    o número de Reynolds. (Dimensões: L T^{-1}\cdot L / (L^2 T^{-1}) cancela.)
  • Conclusão (resposta à parte (a)): dois grupos úteis são
    \Pi_1 \propto C_D = \frac{F_D}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 A}\quad\text{e}\quad \Pi_2 = \mathrm{Re}=\frac{U D}{\nu}.
    Em palavras: para uma esfera lisa e condições incompressíveis, C_D é função adimensional do Reynolds: C_D = f(\mathrm{Re}). Correlacionar dados experimentais significa traçar C_D versus \mathrm{Re}.

Passo 4

Critério de similaridade e cálculo do Reynolds do protótipo.
  • Para que o modelo e o protótipo sejam dinamicamente semelhantes (mesma função C_D(\mathrm{Re})), é suficiente igualar o número de Reynolds entre modelo e protótipo: \mathrm{Re}_{m} = \mathrm{Re}_{p}.
  • Reynolds do protótipo: \mathrm{Re}_{p} = \frac{U_p D_p}{\nu_{\text{água}}} = \frac{2,8\cdot 0,50}{1,0\times10^{-6}}.áCalcule: U_p D_p = 2,8\cdot 0,50 = 1,4,
\mathrm{Re}_{p} = \frac{1,4}{1,0\times10^{-6}} = 1,4\times10^{6}.

Passo 5

Determinar a velocidade de ensaio no ar para o modelo (parte (b)).
  • Igualando \mathrm{Re}_m a \mathrm{Re}_p: \mathrm{Re}_m = \frac{U_m D_m}{\nu_{\text{ar}}} = \mathrm{Re}_p = 1,4\times10^{6}.Então U_m = \frac{\mathrm{Re}_p\,\nu_{\text{ar}}}{D_m}.
  • Substituindo números ( \nu_{\text{ar}}=1,5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, D_m=0,150\\ \mathrm{m}): U_m = \frac{1,4\times10^{6}\cdot 1,5\times10^{-5}}{0,150}.Calcule passo a passo: 1,4\times10^{6}\cdot 1,5\times10^{-5} = 1,4\cdot1,5\times10^{1} = 2,1\times10^{1} = 21.
U_m = \frac{21}{0,150} = 140\\ \mathrm{m/s}.
  • Resultado da parte (b): a velocidade de ensaio requerida no ar é U_m = 140\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular o coeficiente de arrasto do modelo e estimar o arrasto do protótipo (parte (c)) — necessidades de densidade e áreas projetadas.
  • Observação sobre densidades: o enunciado não forneceu \rho_{\text{ar}} nem \rho_{\text{água}}á. Para obter números concretos, assumo valores típicos ao nível do mar:
    \rho_{\text{ar}} = 1,225\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \rho_{\text{água}} = 1,025\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á
    (Declaração explícita das suposições — se o professor usar outros valores, recalcule com eles.)
  • Área projetada da esfera (seção frontal):
    A=\frac{\pi D^2}{4}.
    Para o modelo D_m=0,150\\ \mathrm{m}:
    A_m = \frac{\pi (0,150)^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0,0225}{4} = \pi\cdot 0,005625 \approx 0,01767\\ \mathrm{m^2}.
  • Coeficiente de arrasto do modelo C_{D,m}:
    C_{D,m} = \frac{F_m}{\tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} U_m^2 A_m}.
    Substituindo F_m=2,8\\ \mathrm{N}, \rho_{\text{ar}}=1,225\\ \mathrm{kg/m^3}, U_m=140\\ \mathrm{m/s}, A_m\approx0,01767\\ \mathrm{m^2}:
    • Primeiro a pressão dinâmica: q_m = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{ar}} U_m^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1,225\cdot (140)^2.Calcule: (140)^2 = 19\,600,
q_m = 0,5\cdot 1,225\cdot 19\,600 \approx 0,6125\cdot 19\,600 \approx 12\,005\\ \mathrm{Pa}.
  • Produto q_m A_m \approx 12\,005\cdot 0,01767 \approx 212,1\\ \mathrm{N}.
  • Assim
    C_{D,m} = \frac{2,8}{212,1} \approx 0,0132.
  • Como garantimos \mathrm{Re}_m=\mathrm{Re}_p e as esferas têm geometria (lisa) igual, espera-se C_{D,p}=C_{D,m} (sob as hipóteses de similaridade). Agora calcule F_{p}:
    • Área do protótipo D_p=0,50\\ \mathrm{m}: A_p = \frac{\pi (0,50)^2}{4} = \pi\cdot 0,0625 \approx 0,19635\\ \mathrm{m^2}.
    • Pressão dinâmica no protótipo: q_p = \tfrac{1}{2}\rho_{\text{água}} U_p^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 1,025\cdot (2,8)^2.áCalcule: (2,8)^2 = 7,84,
q_p \approx 0,5\cdot 1,025\cdot 7,84 \approx 0,5125\cdot 7,84 \approx 4\,018\\ \mathrm{Pa}.
  • Força de arrasto estimada: F_p = C_{D,p}\, q_p \, A_p \approx 0,0132\cdot 4\,018\cdot 0,19635.Calcule produto intermediário: 4\,018\cdot 0,19635 \approx 788,9,
F_p \approx 0,0132\cdot 788,9 \approx 10,4\\ \mathrm{N}.
  • Resultado da parte (c): estimativa da força de arrasto no protótipo F_p \approx 10,4\\ \mathrm{N}, usando as suposições declaradas.

Passo 7

Interpretação, comentários didáticos e limitações (rápido e prático — importante para prova).
  • Por que igualar \mathrm{Re}? Porque para escoamentos incompressíveis e geometria fixa o coeficiente de arrasto C_D depende principalmente do número de Reynolds: C_D = f(\mathrm{Re}). Igualando \mathrm{Re} entre modelo e protótipo garantimos que os regimes de separação e camada limite sejam semelhantes, e assim o mesmo C_D.
  • Observações e hipóteses feitas:
    • Fluido incompressível e esferas geométrica e superficialmente idênticas (lisa).
    • Efeitos de superfície (rugosidade), compressibilidade (a 140\\ \mathrm{m/s} a ar ambiente o número de Mach é moderado, mas ainda tipicamente pouco relevante), e efeitos de escala térmica foram ignorados.
    • Usei densidades padrão \rho_{\text{ar}}=1,225\\ \mathrm{kg/m^3} e \rho_{\text{água}}=1,025\\ \mathrm{kg/m^3}á. Se houver valores distintos na prova ou nos dados experimentais, substituir e recalcular os passos numéricos.
  • Em prova, mostre claramente:
    • derivação dos grupos \Pi;
    • argumento de similaridade (igualar \mathrm{Re});
    • cálculo direto de U_m e uso do C_D obtido do modelo para escalar a força. Esses são os passos padrões e curtos que costumam garantir a pontuação.

Resposta

(a) Dois grupos adimensionais convenientes: C_D=\dfrac{F_D}{\tfrac{1}{2}\rho U^2 A} e \mathrm{Re}=\dfrac{U D}{\nu}.
(b) Velocidade de ensaio no ar requerida: U_{m}=140\\ \mathrm{m/s}.
(c) Força de arrasto estimada no protótipo: F_{p}\approx 10,4\\ \mathrm{N}.

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