Como um conhecedor de análise dimensional e semelhança dinâmica, (a) obtenha um conjunto de grupos adimensionais, utilizando o Teorema de pi de Buckingham, que possam ser usados para correlacionar dados experimentais de um escoamento sobre um transdutor sonar liso de formato esférico, lembrando que esse escoamento gera uma força de arrasto sobre o transdutor sonar. (b) O arrasto deve ser previsto com base em dados de teste em túnel de vento (viscosidade cinemática do ar
). O protótipo, uma esfera de
de diâmetro, deve ser rebocado a
na água do mar (viscosidade cinemática da água do mar
). O modelo tem 150 mm de diâmetro. Determine a velocidade de teste requerida no ar; (c) a força de arrasto sobre o modelo em teste é de
, nesse caso, estime a força de arrasto no protótipo.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
-
Perguntas:
(a) obter um conjunto de grupos adimensionais (usar o Teoremade Buckingham) que sirvam para correlacionar dados de arrasto de um transdutor esférico liso;
(b) encontrar a velocidade de ensaio no túnel de vento (ar) para que o modelo seja dinamicamente similar ao protótipo na água do mar;
(c) a partir da força de arrasto medida no modelo, estimar a força de arrasto no protótipo. -
Variáveis relevantes (extraídas do enunciado e do problema físico):
- Força de arrasto:
(unidade: ). - Diâmetro da esfera:
(unidade: ). - Velocidade de escoamento relativa:
(unidade: ). - Densidade do fluido:
(unidade: ) — não fornecida no enunciado, verá que vou assumir valores padrão mais adiante porque são necessários para (c). - Viscosidade cinemática do fluido:
(unidade: ). Valores fornecidos: - ar:
, - água do mar:
.
- ar:
- Força de arrasto:
-
Dados numéricos do problema:
- Protótipo:
, , . - Modelo:
, força medida , ar com .
- Protótipo:
Observação importante (não foi pedido, mas é necessário para calcular numéricos): o enunciado não deu as densidades
e
. Para estimar o arrasto na parte (c) vou assumir valores padrão de referência (isto será declarado onde usados).
Passo 2
Aplicando o Teorema
de Buckingham — escolha de variáveis e número de grupos.
-
Lista de variáveis que controlam
(assumimos esfera lisa, escoamento incompressível, temperatura constante): -
Número total de variáveis:
. Número de dimensões fundamentais envolvidas (massa , comprimento , tempo ): . Então o número de grupos adimensionais é . Precisamos encontrar duas -grupos independentes. -
Escolha de variáveis repetidas (cobrem
): . Usarei essas como repetidas para formar os grupos.
Passo 3
Formação e interpretação dos dois grupos
.
- Procuramos
envolvendo . Procuro expoentes tais que seja adimensional. Dimensões: Impondo obtemos sistema
Da terceira equação
. Da primeira
. Substituindo na segunda:
Logo
Este grupo é proporcional ao coeficiente de arrasto convencional. De fato, usando a área projetada
, o coeficiente de arrasto definido usualmente é
portanto
é proporcional a
. Trabalharei com
porque é a forma prática e conhecida.
-
O segundo grupo
vem naturalmente da combinação de : o número de Reynolds. (Dimensões:cancela.) -
Conclusão (resposta à parte (a)): dois grupos úteis sãoEm palavras: para uma esfera lisa e condições incompressíveis,
é função adimensional do Reynolds: . Correlacionar dados experimentais significa traçar versus .
Passo 4
Critério de similaridade e cálculo do Reynolds do protótipo.
- Para que o modelo e o protótipo sejam dinamicamente semelhantes (mesma função
), é suficiente igualar o número de Reynolds entre modelo e protótipo: - Reynolds do protótipo:
Calcule:
Passo 5
Determinar a velocidade de ensaio no ar para o modelo (parte (b)).
- Igualando
a : Então - Substituindo números (
, ): Calcule passo a passo:
- Resultado da parte (b): a velocidade de ensaio requerida no ar é
.
Passo 6
Calcular o coeficiente de arrasto do modelo e estimar o arrasto do protótipo (parte (c)) — necessidades de densidade e áreas projetadas.
-
Observação sobre densidades: o enunciado não forneceu
nem . Para obter números concretos, assumo valores típicos ao nível do mar: (Declaração explícita das suposições — se o professor usar outros valores, recalcule com eles.) -
Área projetada da esfera (seção frontal):Para o modelo
: -
Coeficiente de arrasto do modelo
: Substituindo, , , : - Primeiro a pressão dinâmica:
Calcule:
- Primeiro a pressão dinâmica:
-
Produto
. -
Assim
-
Como garantimos
e as esferas têm geometria (lisa) igual, espera-se (sob as hipóteses de similaridade). Agora calcule : - Área do protótipo
: - Pressão dinâmica no protótipo:
Calcule:
- Área do protótipo
- Força de arrasto estimada:
Calcule produto intermediário:
- Resultado da parte (c): estimativa da força de arrasto no protótipo
, usando as suposições declaradas.
Passo 7
Interpretação, comentários didáticos e limitações (rápido e prático — importante para prova).
- Por que igualar
? Porque para escoamentos incompressíveis e geometria fixa o coeficiente de arrasto depende principalmente do número de Reynolds: . Igualando entre modelo e protótipo garantimos que os regimes de separação e camada limite sejam semelhantes, e assim o mesmo . - Observações e hipóteses feitas:
- Fluido incompressível e esferas geométrica e superficialmente idênticas (lisa).
- Efeitos de superfície (rugosidade), compressibilidade (a
a ar ambiente o número de Mach é moderado, mas ainda tipicamente pouco relevante), e efeitos de escala térmica foram ignorados. - Usei densidades padrão
e . Se houver valores distintos na prova ou nos dados experimentais, substituir e recalcular os passos numéricos.
- Em prova, mostre claramente:
- derivação dos grupos
; - argumento de similaridade (igualar
); - cálculo direto de
e uso do obtido do modelo para escalar a força. Esses são os passos padrões e curtos que costumam garantir a pontuação.
- derivação dos grupos
Resposta
(a) Dois grupos adimensionais convenientes:
e
.
(b) Velocidade de ensaio no ar requerida: .
(c) Força de arrasto estimada no protótipo: .
(b) Velocidade de ensaio no ar requerida:
(c) Força de arrasto estimada no protótipo: