1. Um semicone reto tem altura igual ao raio e o volume é 576 \pi \mathrm{~cm}^{3}. Calcule a área lateral do semicone.

Passo 1

O enunciado fala de um semicone reto (ou seja, metade de um cone circular reto) cuja altura h é igual ao raio da base R, e cujo volume é
576\pi\\ \text{cm}^3.
Para resolver precisamos de duas fórmulas clássicas:
  1. Volume de um cone inteiro:
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi R^2h.
  1. Área lateral de um cone inteiro:
A_{\ell,\text{cone}}=\pi R\,l,
onde l é a geratriz (ou altura oblíqua) do cone.
Como temos um semicone, o volume dele é metade do volume do cone inteiro, e a área lateral do semicone é metade da área lateral do cone inteiro.

Passo 2

Escrevemos a expressão do volume do semicone em termos de R. Como h=R, o volume do cone inteiro seria
V_{\text{cone}}=\frac{1}{3}\pi R^2\,(R)=\frac{1}{3}\pi R^3,
e do semicone vale
V_{\text{semicone}}=\frac{1}{2}\,V_{\text{cone}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\,\pi R^3 =\frac{\pi R^3}{6}.
Igualando a 576\pi, temos
\frac{\pi R^3}{6}=576\pi \quad\Longrightarrow\quad R^3=3456 \quad\Longrightarrow\quad R=\sqrt[3]{3456}.
Fatorando 3456=216\cdot16=6^3\cdot2^4, obtemos
R=6\cdot\sqrt[3]{16} =6\cdot2\sqrt[3]{2} =12\sqrt[3]{2}\\ \text{cm}.

Passo 3

Calculamos a geratriz l do cone (e do semicone, pois é o mesmo valor):
l=\sqrt{R^2+h^2} =\sqrt{R^2+R^2} =R\sqrt{2} =12\sqrt[3]{2}\,\sqrt{2}.

Passo 4

A área lateral do semicone é metade da área lateral do cone inteiro. Primeiro a área lateral do cone inteiro:
A_{\ell,\text{cone}}=\pi R\,l =\pi\,(12\sqrt[3]{2})\bigl(12\sqrt[3]{2}\,\sqrt{2}\bigr) =\pi\cdot144\,(\sqrt[3]{2})^2\,\sqrt{2}.
Como (\sqrt[3]{2})^2=2^{2/3} e \sqrt{2}=2^{1/2}, isso dá um fator 2^{2/3+1/2}=2^{7/6}. Então
A_{\ell,\text{cone}} =144\pi\,2^{7/6}.
Metade disso é a área lateral do semicone:
A_{\ell,\text{semicone}} =\frac{1}{2}\,A_{\ell,\text{cone}} =72\pi\,2^{7/6} =144\pi\,2^{1/6},
onde usamos 72\cdot2^{7/6}=144\cdot2^{1/6}.

Resposta

A_{\text{lateral do semicone}} =144\pi\,\sqrt[6]{2}\\ \text{cm}^2.

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