- Um semicone reto tem altura igual ao raio e o volume é
. Calcule a área lateral do semicone.
Passo 1
O enunciado fala de um semicone reto (ou seja, metade de um cone circular reto) cuja altura
é igual ao raio da base
, e cujo volume é
Para resolver precisamos de duas fórmulas clássicas:
- Volume de um cone inteiro:
- Área lateral de um cone inteiro:
onde
é a geratriz (ou altura oblíqua) do cone.
Como temos um semicone, o volume dele é metade do volume do cone inteiro, e a área lateral do semicone é metade da área lateral do cone inteiro.
Passo 2
Escrevemos a expressão do volume do semicone em termos de
. Como
, o volume do cone inteiro seria
e do semicone vale
Igualando a
, temos
Fatorando
, obtemos
Passo 3
Calculamos a geratriz
do cone (e do semicone, pois é o mesmo valor):
Passo 4
A área lateral do semicone é metade da área lateral do cone inteiro. Primeiro a área lateral do cone inteiro:
Como
e
, isso dá um fator
. Então
Metade disso é a área lateral do semicone:
onde usamos
.