Questão 1 Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x-z, y-z,-w, w)
(a) (1.0) Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.
(b) (1.0) Determine a imagem de T e encontre uma base para este subespaço.
(c) (0.5) A transformação T é injetora? Justifique.
(d) (0.5) A transformação T é sobrejetora? Justifique.
Esses três vetores são linearmente independentes e formam uma base de \operatorname{Im}(T).
Passo 4
T é injetora se, e só se, \ker(T)=\{0\}. Aqui \ker(T) tem dimensão 1 (não é só o vetor nulo), portanto T não é injetora.
Passo 5
T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^4. Como \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4, não atinge todo \mathbb{R}^4, logo T não é sobrejetora.
Resposta
(a) \ker(T)=\{z(1,1,1,0)\mid z\in\mathbb{R}\}, base \{(1,1,1,0)\}.
(b) \operatorname{Im}(T)=\{(u,v,-t,t)\mid u,v,t\in\mathbb{R}\}, base \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,-1,1)\}.
(c) T não é injetora, pois \ker(T)\neq\{0\}.
(d) T não é sobrejetora, pois \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=3<4.