Questão 1 Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} uma transformação linear dada por
T(x, y, z, w)=(x-z, y-z,-w, w)
(a) (1.0) Determine o núcleo de T e encontre uma base para este subespaço.
(b) (1.0) Determine a imagem de T e encontre uma base para este subespaço.
(c) (0.5) A transformação T é injetora? Justifique.
(d) (0.5) A transformação T é sobrejetora? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z,w) = (x - z,\;y - z,\;-w,\;w).
Pede-se:
(a) \ker(T) e uma base;
(b) \operatorname{Im}(T) e uma base;
(c) verificar se T é injetora;
(d) verificar se T é sobrejetora.

Passo 2

Para achar \ker(T)\) resolvemos \[T(x,y,z,w) = (0,0,0,0),
ou seja
\begin{cases} x - z = 0,\\\ y - z = 0,\\\\ -w = 0,\\\ w = 0. \end{cases}
Dessas equações vem w=0\] e \(x=z,\;y=z. Logo
(x,y,z,w) = (z,z,z,0) = z\,(1,1,1,0),\quad z\in\mathbb{R}.
Assim
\ker(T) = \{\,z(1,1,1,0)\mid z\in\mathbb{R}\}
e uma base de \ker(T) é \{(1,1,1,0)\}.

Passo 3

Para determinar \operatorname{Im}(T) observamos que todo vetor de saída tem a forma
(x-z,\;y-z,\;-w,\;w).
Chamando u = x - z,\;v = y - z,\;t = w, temos s = -w = -t e
T(x,y,z,w) = (u,v,-t,t),\quad u,v,t\in\mathbb{R}.
Logo
\operatorname{Im}(T) = \{(u,v,-t,t)\mid u,v,t\in\mathbb{R}\} =\Span\{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,-1,1)\}.
Esses três vetores são linearmente independentes e formam uma base de \operatorname{Im}(T).

Passo 4

T é injetora se, e só se, \ker(T)=\{0\}. Aqui \ker(T) tem dimensão 1 (não é só o vetor nulo), portanto T não é injetora.

Passo 5

T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^4. Como \dim(\operatorname{Im}(T))=3<4, não atinge todo \mathbb{R}^4, logo T não é sobrejetora.

Resposta

(a) \ker(T)=\{z(1,1,1,0)\mid z\in\mathbb{R}\}, base \{(1,1,1,0)\}.
(b) \operatorname{Im}(T)=\{(u,v,-t,t)\mid u,v,t\in\mathbb{R}\}, base \{(1,0,0,0),\,(0,1,0,0),\,(0,0,-1,1)\}.
(c) T não é injetora, pois \ker(T)\neq\{0\}.
(d) T não é sobrejetora, pois \dim\bigl(\operatorname{Im}(T)\bigr)=3<4.

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