Sempre que possível calcule:
\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto das duas matrizes abaixo:
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
A tarefa é computar o produto A B se for possível.]

Passo 2

Vamos recordar a definição de multiplicação de matrizes de forma bem prática e sem mistério.
Se A for uma matriz de tamanho m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) e B for uma matriz de tamanho n\times p (ou seja, n linhas e p colunas), então o produto A B está definido e é uma matriz m\times p. O elemento da linha i e coluna j do produto é dado por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui:
  • i indica a linha do resultado (vai de 1 a m);
  • j indica a coluna do resultado (vai de 1 a p);
  • o índice k percorre as colunas de A (que são as mesmas que as linhas de B) e faz o produto escalar entre a linha i de A e a coluna j de B.
Em palavras: para multiplicar A por B é preciso que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Se isso não acontecer, não dá para formar os produtos escalares que definem os elementos do produto.

Passo 3

Agora identificamos as dimensões das matrizes dadas:
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas; portanto A é 2\times3.
  • A matriz B tem 2 linhas e 2 colunas; portanto B é 2\times2.

Passo 4

Comparemos as dimensões internas exigidas para o produto A B:
  • Número de colunas de A é 3.
  • Número de linhas de B é 2.
Como 3\neq 2, a condição necessária para que o produto A B esteja definido não é satisfeita. Logo, o produto A B NÃO está definido — não é possível calcular A B porque não dá para formar os somatórios \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj} (os comprimentos dos vetores que se multiplicariam não coincidem).

Passo 5

Para aproveitar a oportunidade de estudo, mostro rapidamente uma alternativa que às vezes confunde: o produto na ordem inversa B A pode estar definido mesmo quando A B não está. Aqui temos
B\\ \text{é}\\\ 2\times2,\qquad A\\ \text{é}\\\ 2\times3,éé
portanto B A é bem definido (pois as colunas de B são 2 e as linhas de A são 2), e o resultado será uma matriz 2\times3. Vou calcular B A passo a passo como exemplo prático de multiplicação:
Escrevendo as colunas de A:
\text{col}_1(A)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3(A)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Multiplicando B por cada coluna de A (produto de matriz por coluna é só combinações lineares das colunas de B):
  • Primeira coluna de BA:
B\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot0\\[4pt]3\cdot1+4\cdot0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Segunda coluna de BA:
B\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot0+2\cdot1\\[4pt]3\cdot0+4\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  • Terceira coluna de BA:
B\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot(-1)+2\cdot2\\[4pt]3\cdot(-1)+4\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1+4\\[4pt]-3+8\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.
Portanto,
B A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]3 & 4 & 5\end{pmatrix}.
Isso é só um bônus didático: mostra como proceder quando as dimensões permitem multiplicação.]

Resposta

O produto \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} não está definido, pois as dimensões são incompatíveis ( 2\times3 vezes 2\times2; 3\neq2).]

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