A tarefa é computar o produto A B se for possível.]
Passo 2
Vamos recordar a definição de multiplicação de matrizes de forma bem prática e sem mistério.
Se A for uma matriz de tamanho m\times n (ou seja, m linhas e n colunas) e B for uma matriz de tamanho n\times p (ou seja, n linhas e p colunas), então o produto A B está definido e é uma matriz m\times p. O elemento da linha i e coluna j do produto é dado por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Aqui:
i indica a linha do resultado (vai de 1 a m);
j indica a coluna do resultado (vai de 1 a p);
o índice k percorre as colunas de A (que são as mesmas que as linhas de B) e faz o produto escalar entre a linha i de A e a coluna j de B.
Em palavras: para multiplicar A por B é preciso que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. Se isso não acontecer, não dá para formar os produtos escalares que definem os elementos do produto.
Passo 3
Agora identificamos as dimensões das matrizes dadas:
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas; portanto A é 2\times3.
A matriz B tem 2 linhas e 2 colunas; portanto B é 2\times2.
Passo 4
Comparemos as dimensões internas exigidas para o produto A B:
Número de colunas de A é 3.
Número de linhas de B é 2.
Como 3\neq 2, a condição necessária para que o produto A B esteja definido não é satisfeita. Logo, o produto A B NÃO está definido — não é possível calcular A B porque não dá para formar os somatórios \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj} (os comprimentos dos vetores que se multiplicariam não coincidem).
Passo 5
Para aproveitar a oportunidade de estudo, mostro rapidamente uma alternativa que às vezes confunde: o produto na ordem inversa B A pode estar definido mesmo quando A B não está. Aqui temos
portanto B A é bem definido (pois as colunas de B são 2 e as linhas de A são 2), e o resultado será uma matriz 2\times3. Vou calcular B A passo a passo como exemplo prático de multiplicação:
B A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[4pt]3 & 4 & 5\end{pmatrix}.
Isso é só um bônus didático: mostra como proceder quando as dimensões permitem multiplicação.]
Resposta
O produto \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix} não está definido, pois as dimensões são incompatíveis (2\times3 vezes 2\times2; 3\neq2).]