u(y)=U sen(pi y2 de
Onde U é a velocidade da corrente longe da parede e de é a espessurada camada-limite. Se o fluido for a gasolina a 20^circ C e 1 atm(mu=1,5 kgm cdot s e rho=1260 kg / m^3), e se U=108 cm / s e de 30 mm , faça o que se pede:
a) Calcule a tensão de cisalhamento na parede do tubo (taup);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação para a velocidade $ u(y) $ em função da posição $ y $ dentro da camada limite de um fluido. O nosso objetivo aqui é calcular a tensão de cisalhamento na parede do tubo, representada por $ \tau_p $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a relação entre a velocidade e a tensão de cisalhamento, além de usar as propriedades fornecidas do fluido (gasolina) e os valores dados para a velocidade $ U $ e a espessura da camada limite $ \delta $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento na parede, $ \tau_p $, é dada pela fórmula:
taup
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido, e $ \frac{du}{dy} $ é a derivada da velocidade em relação a $ y $. Avaliamos essa derivada na parede, ou seja, em $ y = 0 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função $ u(y) $:
u(y)
Derivando em relação a $ y $:
u(y) = U sin( pi y2 de

Passo 4

Agora, avaliamos essa derivada na parede ($ y = 0 $):
y = 0

Passo 5

Substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:
taup = mu cdot U pi2 de
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
  • $ \mu = 1,5 , \frac{kg}{m \cdot s} $
  • $ U = 108 , cm/s = 1,08 , m/s $
  • $ \delta = 30 , mm = 0,03 , m $

Passo 6

Fazendo as substituições:
taup = 1,5 cdot 1,08 cdot pi2 cdot 0,03
Primeiro, calculamos o denominador:
2 cdot 0,03 = 0,06
Então:
taup = 1,5 cdot 1,08 cdot pi0,06
Multiplicando os numeradores:
1,5 cdot 1,08 = 1,62
Agora:
taup = 1,62 cdot pi0,06
Dividindo:
1,620,06 = 27
Portanto:
taup = 27 cdot pi approx 27 cdot 3,1416 approx 84,82 , N/m^2

Resposta

A tensão de cisalhamento na parede do tubo é aproximadamente $ 84{,}82 , N/m^2 $.

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