Onde
é a velocidade da corrente longe da parede e
é a espessurada camada-limite. Se o fluido for a gasolina a
e
e
, e se
e
30 mm , faça o que se pede:
a) Calcule a tensão de cisalhamento na parede do tubo
;
a) Calcule a tensão de cisalhamento na parede do tubo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação para a velocidade $ u(y) $ em função da posição $ y $ dentro da camada limite de um fluido. O nosso objetivo aqui é calcular a tensão de cisalhamento na parede do tubo, representada por $ \tau_p $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica dos fluidos, como a relação entre a velocidade e a tensão de cisalhamento, além de usar as propriedades fornecidas do fluido (gasolina) e os valores dados para a velocidade $ U $ e a espessura da camada limite $ \delta $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a tensão de cisalhamento na parede, $ \tau_p $, é dada pela fórmula:
Aqui, $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do fluido, e $ \frac{du}{dy} $ é a derivada da velocidade em relação a $ y $. Avaliamos essa derivada na parede, ou seja, em $ y = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função $ u(y) $:
Derivando em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, avaliamos essa derivada na parede ($ y = 0 $):
Passo 5
Substituindo na fórmula da tensão de cisalhamento:
Agora, vamos substituir os valores fornecidos:
- $ \mu = 1,5 , \frac{kg}{m \cdot s} $
- $ U = 108 , cm/s = 1,08 , m/s $
- $ \delta = 30 , mm = 0,03 , m $
Passo 6
Fazendo as substituições:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Multiplicando os numeradores:
Agora:
Dividindo:
Portanto:
Resposta
A tensão de cisalhamento na parede do tubo é aproximadamente $ 84{,}82 , N/m^2 $.