∫ sen 7 x · cos 2 x dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
, a variável de integração é
e queremos a primitiva (integral indefinida), que inclui a constante de integração
.
Passo 2
Uma maneira direta de resolver essa integral é usar a identidade produto-para-soma para funções seno e cosseno. Vou explicar essa identidade passo a passo. Começo das fórmulas de soma e diferença:
Somando as duas igualdades obtemos
Isolando
vem a identidade produto-para-soma que vamos usar:
Aqui
e
são quaisquer expressões (no nosso caso serão múltiplos de
).
Passo 3
Agora aplico a identidade ao nosso integrando, tomando
e
:
Portanto a integral vira
Passo 4
Uso a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral):
Passo 5
Agora lembro a primitiva básica: para
,
porque
. Aplicando isso:
Substituindo na expressão com o fator
e agrupando a constante de integração:
Passo 6
Como verificação rápida: derivando
obtém-se
usando a identidade produto-para-soma ao contrário, então a primitiva está correta.