∫ sen 7 x · cos 2 x dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \sin 7x \cdot \cos 2x \, dx.
Informações dadas: a função integranda é \sin 7x \cdot \cos 2x, a variável de integração é x e queremos a primitiva (integral indefinida), que inclui a constante de integração C.

Passo 2

Uma maneira direta de resolver essa integral é usar a identidade produto-para-soma para funções seno e cosseno. Vou explicar essa identidade passo a passo. Começo das fórmulas de soma e diferença:
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v
\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.
Somando as duas igualdades obtemos
\sin(u+v)+\sin(u-v)=2\sin u\cos v.
Isolando \sin u\cos v vem a identidade produto-para-soma que vamos usar:
\sin u\cos v=\tfrac{1}{2}\big(\sin(u+v)+\sin(u-v)\big).
Aqui u e v são quaisquer expressões (no nosso caso serão múltiplos de x).

Passo 3

Agora aplico a identidade ao nosso integrando, tomando u=7x e v=2x:
\sin 7x \cos 2x=\tfrac{1}{2}\big(\sin(7x+2x)+\sin(7x-2x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\sin 9x+\sin 5x\big).
Portanto a integral vira
\int \sin 7x \cos 2x \, dx=\tfrac{1}{2}\int\big(\sin 9x+\sin 5x\big)\,dx.

Passo 4

Uso a linearidade da integral (a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral):
\tfrac{1}{2}\int\big(\sin 9x+\sin 5x\big)\,dx=\tfrac{1}{2}\left(\int\sin 9x\,dx+\int\sin 5x\,dx\right).

Passo 5

Agora lembro a primitiva básica: para k\neq 0,
\int \sin(kx)\,dx=-\frac{1}{k}\cos(kx)+C,
porque \dfrac{d}{dx}\big(\cos(kx)\big)=-k\sin(kx). Aplicando isso:
\int\sin 9x\,dx=-\frac{1}{9}\cos 9x + C_1,
\int\sin 5x\,dx=-\frac{1}{5}\cos 5x + C_2.
Substituindo na expressão com o fator \tfrac{1}{2} e agrupando a constante de integração:
\tfrac{1}{2}\left(-\frac{1}{9}\cos 9x -\frac{1}{5}\cos 5x\right)+C = -\frac{1}{18}\cos 9x -\frac{1}{10}\cos 5x + C.

Passo 6

Como verificação rápida: derivando -\frac{1}{18}\cos 9x -\frac{1}{10}\cos 5x obtém-se
-\frac{1}{18}\cdot(-9)\sin 9x -\frac{1}{10}\cdot(-5)\sin 5x =\tfrac{1}{2}\sin 9x+\tfrac{1}{2}\sin 5x =\sin 7x\cos 2x,
usando a identidade produto-para-soma ao contrário, então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{18}\cos 9x -\frac{1}{10}\cos 5x + C

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