∫ sen 2 x · cos 5 x dx
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas
e
. Precisamos encontrar uma primitiva (isto é, uma função cuja derivada seja a integranda), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Uma ferramenta muito útil para produtos de seno e cosseno é a identidade produto-para-soma. Vou deduzir ela rapidamente para você lembrar na prova. Começamos das fórmulas de soma:
Somando as duas igualdades obtemos
Logo, isolando o produto,
Aqui
e
são variáveis quaisquer (no nosso caso serão expressões em
).
Passo 3
Aplique a identidade com
e
. Então
Calcule as somas e diferenças dentro dos senos:
Como
, temos
Passo 4
Agora substituímos isso na integral:
Separe constantes:
Regra para integrar seno com coeficiente linear: se
é constante, então
porque
. Aqui
será
e
.
Passo 5
Aplique a fórmula às duas integrais:
Somando e acrescentando a constante
:
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derive a resposta para checar. Seja
. Então
Usando a identidade inversa do Passo 3 isso é igual a
. Logo a primitiva está correta.