∫ sen 2 x · cos 5 x dx

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \sin 2x \cdot \cos 5x \, dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de duas funções trigonométricas \sin 2x e \cos 5x. Precisamos encontrar uma primitiva (isto é, uma função cuja derivada seja a integranda), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Uma ferramenta muito útil para produtos de seno e cosseno é a identidade produto-para-soma. Vou deduzir ela rapidamente para você lembrar na prova. Começamos das fórmulas de soma:
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v
\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.
Somando as duas igualdades obtemos
\sin(u+v)+\sin(u-v)=2\sin u\cos v.
Logo, isolando o produto,
\sin u\cos v=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(u+v)+\sin(u-v)\bigr).
Aqui u e v são variáveis quaisquer (no nosso caso serão expressões em x).

Passo 3

Aplique a identidade com u=2x e v=5x. Então
\sin 2x\cos 5x=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(2x+5x)+\sin(2x-5x)\bigr).
Calcule as somas e diferenças dentro dos senos:
\sin 2x\cos 5x=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin 7x+\sin(-3x)\bigr).
Como \sin(-3x)=-\sin 3x, temos
\sin 2x\cos 5x=\tfrac{1}{2}\sin 7x-\tfrac{1}{2}\sin 3x.

Passo 4

Agora substituímos isso na integral:
\int \sin 2x\cos 5x\,dx=\int\Bigl(\tfrac{1}{2}\sin 7x-\tfrac{1}{2}\sin 3x\Bigr)\,dx.
Separe constantes:
=\tfrac{1}{2}\int \sin 7x\,dx-\tfrac{1}{2}\int \sin 3x\,dx.
Regra para integrar seno com coeficiente linear: se k é constante, então
\int \sin(kx)\,dx=-\tfrac{1}{k}\cos(kx)+C,
porque \dfrac{d}{dx}\cos(kx)=-k\sin(kx). Aqui k será 7 e 3.

Passo 5

Aplique a fórmula às duas integrais:
\tfrac{1}{2}\int \sin 7x\,dx=\tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{7}\cos 7x\Bigr)=-\tfrac{1}{14}\cos 7x,
-\tfrac{1}{2}\int \sin 3x\,dx=-\tfrac{1}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\cos 3x\Bigr)=+\tfrac{1}{6}\cos 3x.
Somando e acrescentando a constante C:
\int \sin 2x\cos 5x\,dx=\tfrac{1}{6}\cos 3x-\tfrac{1}{14}\cos 7x + C.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derive a resposta para checar. Seja F(x)=\tfrac{1}{6}\cos 3x-\tfrac{1}{14}\cos 7x. Então
F'(x)=\tfrac{1}{6}(-3\sin 3x)-\tfrac{1}{14}(-7\sin 7x)=-\tfrac{1}{2}\sin 3x+\tfrac{1}{2}\sin 7x=\tfrac{1}{2}(\sin 7x-\sin 3x).
Usando a identidade inversa do Passo 3 isso é igual a \sin 2x\cos 5x. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{6}\cos 3x-\frac{1}{14}\cos 7x + C

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