∫ sen 3 x · sen 6 x dx
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada, isto é encontrar
Informações fornecidas: a integranda é
, a variável de integração é
. O resultado esperado é uma função
tal que
, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Estratégia útil (explicação didática): quando aparece o produto de senos
muitas vezes é mais fácil transformar o produto em soma de cossenos usando identidades trigonométricas. Vou deduzir a identidade que precisamos a partir de fórmulas básicas para cosseno:
Começamos com as fórmulas de soma e diferença:
Subtraindo a segunda da primeira, eliminamos o termo
e isolamos
:
Portanto a identidade que usaremos é
Explicando devagar:
e
são combinações que aparecem naturalmente nas fórmulas de soma/ diferença; ao subtrair uma da outra ficamos com duas vezes
, daí o fator
.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso com
e
:
Calcule os argumentos:
Como
, obtemos
Passo 4
Substituímos na integral e usamos linearidade (a integral de soma é soma das integrais, constantes podem sair):
Ou seja, podemos integrar os dois cossenos separadamente.
Passo 5
Fórmula de integração que vamos usar (e por que ela vale): para uma constante
,
Justificativa curta:
. Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula termo a termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Somando e lembrando a constante de integração
, a primitiva é
Passo 7
Verificação rápida (opcional mas bom para a prova): derivando o resultado temos
que, pela identidade usada antes, é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.