∫ sen 3 x · sen 6 x dx

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida) da função dada, isto é encontrar
\int \sin 3x \cdot \sin 6x \, dx.
Informações fornecidas: a integranda é \sin 3x \cdot \sin 6x, a variável de integração é x. O resultado esperado é uma função F(x) tal que F'(x)=\sin 3x\sin 6x, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Estratégia útil (explicação didática): quando aparece o produto de senos \sin A\sin B muitas vezes é mais fácil transformar o produto em soma de cossenos usando identidades trigonométricas. Vou deduzir a identidade que precisamos a partir de fórmulas básicas para cosseno:
Começamos com as fórmulas de soma e diferença:
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B,
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B.
Subtraindo a segunda da primeira, eliminamos o termo \cos A\cos B e isolamos \sin A\sin B:
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\sin A\sin B.
Portanto a identidade que usaremos é
\sin A\sin B=\frac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Explicando devagar: \cos(A-B) e \cos(A+B) são combinações que aparecem naturalmente nas fórmulas de soma/ diferença; ao subtrair uma da outra ficamos com duas vezes \sin A\sin B, daí o fator 1/2.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso com A=3x e B=6x:
\sin 3x\sin 6x=\frac{1}{2}\big(\cos(3x-6x)-\cos(3x+6x)\big).
Calcule os argumentos:
3x-6x=-3x\quad\text{e}\quad 3x+6x=9x.
Como \cos(-3x)=\cos 3x, obtemos
\sin 3x\sin 6x=\frac{1}{2}\big(\cos 3x-\cos 9x\big).

Passo 4

Substituímos na integral e usamos linearidade (a integral de soma é soma das integrais, constantes podem sair):
\int \sin 3x\sin 6x \, dx=\frac{1}{2}\int\big(\cos 3x-\cos 9x\big)\,dx.
Ou seja, podemos integrar os dois cossenos separadamente.

Passo 5

Fórmula de integração que vamos usar (e por que ela vale): para uma constante k,
\int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx)+C.
Justificativa curta: \dfrac{d}{dx}\sin(kx)=k\cos(kx). Portanto uma primitiva de \cos(kx) é \frac{1}{k}\sin(kx).

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula termo a termo:
Para o primeiro termo:
\frac{1}{2}\int \cos 3x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\sin 3x=\frac{1}{6}\sin 3x.
Para o segundo termo:
-\frac{1}{2}\int \cos 9x\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{9}\sin 9x=-\frac{1}{18}\sin 9x.
Somando e lembrando a constante de integração C, a primitiva é
\frac{1}{6}\sin 3x-\frac{1}{18}\sin 9x + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional mas bom para a prova): derivando o resultado temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{6}\sin 3x-\frac{1}{18}\sin 9x\right) =\frac{1}{6}\cdot 3\cos 3x-\frac{1}{18}\cdot 9\cos 9x =\frac{1}{2}\cos 3x-\frac{1}{2}\cos 9x =\frac{1}{2}\big(\cos 3x-\cos 9x\big),
que, pela identidade usada antes, é exatamente \sin 3x\sin 6x. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{6}\sin 3x-\dfrac{1}{18}\sin 9x + C

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