Sendo
e
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três números complexos: $ z_{1} = 3 - 2i $, $ z_{2} = 2 + 5i $ e $ z_{3} = -1 + i $. O objetivo é calcular a expressão $ \left(z_{1} + z_{2}\right)^{2} + z_{3}^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de aritmética de números complexos, como soma e multiplicação deles.
Passo 2
Primeiro, vamos somar $ z_{1} $ e $ z_{2} $. Números complexos são somados somando as partes reais e as partes imaginárias separadamente. Então:
Agora, precisamos elevar essa soma ao quadrado, ou seja, calcular $ (5 + 3i)^2 $. Para fazer isso, usamos a fórmula do quadrado de um binômio:
Aplicando isso:
Sabemos que $ i^2 = -1 $, então:
Agora, vamos calcular $ z_{3}^2 $:
Resposta
Somando os resultados obtidos:
Portanto, $ \left(z_{1} + z_{2}\right)^{2} + z_{3}^{2} = 16 + 28i $.