Sendo z1=3-2 i, z2=2+5 i e z3=-1+i, calcule:
(z1+z2)^2+z3^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três números complexos: $ z_{1} = 3 - 2i $, $ z_{2} = 2 + 5i $ e $ z_{3} = -1 + i $. O objetivo é calcular a expressão $ \left(z_{1} + z_{2}\right)^{2} + z_{3}^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de aritmética de números complexos, como soma e multiplicação deles.

Passo 2

Primeiro, vamos somar $ z_{1} $ e $ z_{2} $. Números complexos são somados somando as partes reais e as partes imaginárias separadamente. Então:
z1
Agora, precisamos elevar essa soma ao quadrado, ou seja, calcular $ (5 + 3i)^2 $. Para fazer isso, usamos a fórmula do quadrado de um binômio:
z2
Aplicando isso:
z1 + z2 = (3 - 2i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (-2i + 5i) = 5 + 3i
Sabemos que $ i^2 = -1 $, então:
(5 + 3i)^2
Agora, vamos calcular $ z_{3}^2 $:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Resposta

Somando os resultados obtidos:
(z1 + z2)^2 + z3^2 = (16 + 30i) + (-2i) = 16 + 28i
Portanto, $ \left(z_{1} + z_{2}\right)^{2} + z_{3}^{2} = 16 + 28i $.

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