Encontrar a equação da reta tangente à curva y=x^2-3x^2+1 no ponto abscissa 1. (0,35 ptos)

Passo 1

Temos a função y=x^2-3x^2+1. O conteúdo é derivada de função quociente e reta tangente, e vamos precisar usar a regra do quociente para encontrar y' e então a equação da reta.

Passo 2

Primeiro calculamos o valor de y no ponto de abscissa x=1:
y(1)=1^2-31^2+1=-22=-1
Logo o ponto de tangência é (1,-1).

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para obter y'. Se y=uv, então y'=u'v-uv'v^2. Aqui u=x^2-3 e v=x^2+1, então:
u'=2x, v'=2x
y'=(2x)(x^2+1)-(x^2-3)(2x)(x^2+1)^2
Simplificando o numerador:
(2x^3+2x)-(2x^3-6x)=8x
Portanto
y'=8x(x^2+1)^2

Passo 4

Agora avaliamos a derivada em x=1:
y'(1)=8cdot1(1+1)^2=84=2
Então o coeficiente angular da reta tangente é m=2.

Passo 5

A equação da reta tangente com coeficiente m que passa por (x0,y0)=(1,-1) é
y-y0=m(x-x0)
Substituindo:
y+1=2(x-1)
Que simplifica para
y=2x-3

Resposta

y=2x-3

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