Sendo an=1 cdot 3 cdot 5 cdot 7 ldots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 ldots 2 n.
c) Mostre que ann>1 é convergente.

Passo 1

O enunciado define a sequência an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots2n e pede para mostrar que ela é convergente. O conteúdo aqui é teoria de sequências monotônicas e limites, e vamos usar o critério de sequência monotônica limitada para concluir a convergência.

Passo 2

Primeiro, observamos que cada fator 2k-12k é positivo e menor que 1. Assim, o produto de termos positivos também é positivo, e como cada fator é <1, o produto cai abaixo de 1. Logo, para todo n>=1, temos
0< an<1

Passo 3

Em seguida, mostramos que an é decrescente. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an=1cdot3cdots(2n-1)cdot(2n+1)2cdot4cdots2ncdot(2n+2) g/ 1cdot3cdots(2n-1)2cdot4cdots2n=2n+12n+2<1
Isso implica an+1, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Como an é estritamente decrescente e limitada inferiormente por 0, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas concluímos que an é convergente.

Resposta

A sequência an é monotônica decrescente e limitada inferiormente, logo converge.

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