Sendo
.
c) Mostre que
é convergente.
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede para mostrar que ela é convergente. O conteúdo aqui é teoria de sequências monotônicas e limites, e vamos usar o critério de sequência monotônica limitada para concluir a convergência.
Passo 2
Primeiro, observamos que cada fator
é positivo e menor que 1. Assim, o produto de termos positivos também é positivo, e como cada fator é <1, o produto cai abaixo de 1. Logo, para todo
, temos
Passo 3
Em seguida, mostramos que
é decrescente. Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Isso implica
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Como
é estritamente decrescente e limitada inferiormente por 0, pelo Teorema da Convergência de Sequências Monótonas concluímos que
é convergente.
Resposta
A sequência
é monotônica decrescente e limitada inferiormente, logo converge.