Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de
em Série de Fourier Trigonométrica.
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de
.
© A partir do item (a), encontre a expansão de
em Série de Fourier Complexa.
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
(e) Podemos escrever o número complexo
em sua forma polar
. Faça um esboço do gráfico das funções discretas
Considere
a função 2-periódica tal que
, para
.
(a) Encontre a expansão de
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de
© A partir do item (a), encontre a expansão de
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
Passo 1
Temos a função 2-periódica definida por f(x)=sen(3x) em (–1,1). O conteúdo aqui é Série de Fourier em [–L,L] com L=1, ou seja, frequências nω₀ com ω₀=π. Vamos precisar do cálculo dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ e depois da forma complexa Cₙ.
Passo 2
Como f é ímpar, a₀=
=0 e todos os aₙ=
=0.
Os coeficientes de seno são bₙ= =
. Usando identidade de produtos:
Os coeficientes de seno são bₙ=
Passo 3
Logo a expansão trigonométrica é
Passo 4
Para a Série Harmônica escrevemos cada termo bₙ sen(nπx) como Aₙ\cos(nπx)+Bₙ\sin(nπx) ou diretamente como amplitude e fase, mas aqui só há termos senoidais, então já está na forma harmônica com fase zero.
Passo 5
Na forma complexa sabemos que
Passo 6
Fazendo a integral com f(x)=sen(3x)=(e{i3x}-e{-i3x})/(2i) chega-se a
Passo 7
e aí a Série de Fourier Complexa é
Passo 8
Como Cₙ é puramente imaginário, na forma polar Cₙ=|Cₙ|e^{iφₙ} temos
Passo 9
com φₙ=+π/2 se
e φₙ=-π/2 caso contrário. O esboço de |Cₙ| versus n mostra picos em n≈±3/π e φₙ alterna entre ±π/2.
Resposta
(a) Série trigonométrica:
(b) Série harmônica: mesma que (a), só há senos.
© Série complexa:
(b) Série harmônica: mesma que (a), só há senos.
© Série complexa:
(d) Confere que
dá o resultado acima.
(e) Em forma polar:
Esboço: |Cₙ| decresce para longe de n≈±3/π e φₙ alterna valores ±π/2.