Para cada um dos exercícios abaixo, resolva os seguintes problemas:
(a) Encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Trigonométrica.
(b) A partir do item (a), escreva a Série de Fourier Harmônica de f(x).
© A partir do item (a), encontre a expansão de f(x) em Série de Fourier Complexa.
(d) Verifique que os coeficientes da Série de Fourier Complexa podem ser obtidos como
Cn=12 L integral-L^L f(x) e^-i omegan x d x, onde omegan=n piL
(e) Podemos escrever o número complexo Cn em sua forma polar Cn=|Cn| e^i phin. Faça um esboço do gráfico das funções discretas
n longmapsto|Cn| e n longmapsto phin
Considere f(x) a função 2-periódica tal que f(x)=sen(3 x), para x in(-1,1).

Passo 1

Temos a função 2-periódica definida por f(x)=sen(3x) em (–1,1). O conteúdo aqui é Série de Fourier em [–L,L] com L=1, ou seja, frequências nω₀ com ω₀=π. Vamos precisar do cálculo dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ e depois da forma complexa Cₙ.

Passo 2

Como f é ímpar, a₀= 1Lintegral-L^Lf(x)dx=0 e todos os aₙ= 1Lintegral-L^Lf(x)cos(nπx/L)dx=0.
Os coeficientes de seno são bₙ= 1Lintegral-L^Lf(x)sin(nπx/L)dx= integral-1^1sin(3x)sin(nπx)dx. Usando identidade de produtos:
integral-1^1sin(3x)sin(nπx)dx=2npi(-1)^nsin39-(npi)^2

Passo 3

Logo a expansão trigonométrica é
f(x)=sumn=1^inftybn,sin(nπx), bn=2npi(-1)^nsin39-(npi)^2

Passo 4

Para a Série Harmônica escrevemos cada termo bₙ sen(nπx) como Aₙ\cos(nπx)+Bₙ\sin(nπx) ou diretamente como amplitude e fase, mas aqui só há termos senoidais, então já está na forma harmônica com fase zero.

Passo 5

Na forma complexa sabemos que
Cn=12Lintegral-L^Lf(x)e^-i nω0 xdx, ω0=π

Passo 6

Fazendo a integral com f(x)=sen(3x)=(e{i3x}-e{-i3x})/(2i) chega-se a
Cn=-i(-1)^n nπsin39-(npi)^2,

Passo 7

e aí a Série de Fourier Complexa é
f(x)=sumn=-infty^inftyCn,e^i n π x

Passo 8

Como Cₙ é puramente imaginário, na forma polar Cₙ=|Cₙ|e^{iφₙ} temos
|Cn|=|nπsin3||9-(nπ)^2|, φn=pmπ2,

Passo 9

com φₙ=+π/2 se -(-1)^n/(9-(nπ)^2)>0 e φₙ=-π/2 caso contrário. O esboço de |Cₙ| versus n mostra picos em n≈±3/π e φₙ alterna entre ±π/2.

Resposta

(a) Série trigonométrica: f(x)=sumn=1^infty2npi(-1)^nsin39-(npi)^2,sin(nπx)
(b) Série harmônica: mesma que (a), só há senos.
© Série complexa: f(x)=sumn=-infty^inftyl(-i(-1)^n nπsin39-(npi)^2r)e^i n π x
(d) Confere que Cn=1/(2)integral-1^1f(x)e^-inπxdx dá o resultado acima.
(e) Em forma polar: |Cn|=|nπsin3||9-(nπ)^2|, φn=pmπ2 Esboço: |Cₙ| decresce para longe de n≈±3/π e φₙ alterna valores ±π/2.

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