Sendo A=(5,1) e B=(-9,4) extremidades de um segmento, determinar:
os pontos C, D e E que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento;

Passo 1

O enunciado dá os extremos do segmento:
A=(5,1),\qquad B=(-9,4),
e pede os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes iguais (ou seja: três pontos interiores que deixam quatro subsegmentos de mesmo comprimento). Vou identificar claramente o que isso significa: os pontos devem estar em ordem sobre o segmento de modo que
\overline{AC}=\overline{CD}=\overline{DE}=\overline{EB}.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): um ponto que divide o segmento AB numa certa fração pode ser obtido por interpolação linear entre as coordenadas de A e B. Se \vec{AB} for o vetor de A para B, então o ponto que está a uma fração t do caminho contado a partir de A tem coordenadas
P(t)=A+t\vec{AB},
onde t\in[0,1]. Para dividir AB em quatro partes iguais queremos os pontos correspondentes a t=\tfrac{1}{4},\\ \tfrac{2}{4},\\ \tfrac{3}{4}. Vou usar essa fórmula porque é simples, direta e dá as coordenadas sem ambiguidade.

Passo 3

Calcular o vetor \vec{AB}:
\vec{AB}=B-A = (-9-5,\;4-1)=(-14,\;3).
Isto significa que, para ir de A a B, subtrai-se 14 unidades em x e soma-se 3 unidades em y.

Passo 4

Calcular C como A+\tfrac{1}{4}\vec{AB}.
Coordenada x de C:
x_C = 5 + \tfrac{1}{4}(-14) = 5 - \tfrac{14}{4} = 5 - \tfrac{7}{2} = \tfrac{10}{2}-\tfrac{7}{2}=\tfrac{3}{2}.
Coordenada y de C:
y_C = 1 + \tfrac{1}{4}(3) = 1 + \tfrac{3}{4} = \tfrac{4}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{7}{4}.
Portanto
C=\Bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}\Bigr).

Passo 5

Calcular D como A+\tfrac{2}{4}\vec{AB}=A+\tfrac{1}{2}\vec{AB}.
Coordenada x de D:
x_D = 5 + \tfrac{1}{2}(-14) = 5 - 7 = -2.
Coordenada y de D:
y_D = 1 + \tfrac{1}{2}(3) = 1 + \tfrac{3}{2} = \tfrac{2}{2}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.
Portanto
D=\Bigl(-2,\tfrac{5}{2}\Bigr).

Passo 6

Calcular E como A+\tfrac{3}{4}\vec{AB}.
Coordenada x de E:
x_E = 5 + \tfrac{3}{4}(-14) = 5 - \tfrac{42}{4} = 5 - \tfrac{21}{2} = \tfrac{10}{2}-\tfrac{21}{2}=-\tfrac{11}{2}.
Coordenada y de E:
y_E = 1 + \tfrac{3}{4}(3) = 1 + \tfrac{9}{4} = \tfrac{4}{4}+\tfrac{9}{4}=\tfrac{13}{4}.
Portanto
E=\Bigl(-\tfrac{11}{2},\tfrac{13}{4}\Bigr).

Passo 7

Verificação rápida (para ter confiança): o comprimento de AB é
|AB|=\sqrt{(-14)^2+3^2}=\sqrt{196+9}=\sqrt{205}.
O vetor AC é \tfrac{1}{4}\vec{AB}, portanto |AC|=\tfrac{1}{4}|AB|=\tfrac{\sqrt{205}}{4}. O mesmo vale para CD, DE e EB (são \tfrac{1}{4}\vec{AB}, \tfrac{1}{4}\vec{AB} e \tfrac{1}{4}\vec{AB} deslocados), confirmando que os pontos realmente dividem o segmento em quatro partes iguais.

Resposta

C=\bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}\bigr)
D=\bigl(-2,\tfrac{5}{2}\bigr)
E=\bigl(-\tfrac{11}{2},\tfrac{13}{4}\bigr)

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