O enunciado fornece os pontos A=(2,5,-3) e B=(-5,-4,-1) e pede para determinar os pontos M, N e P que pertencem à reta passando por A e B e satisfazem as relações vetoriais
A reta procurada é a que passa por A e B; qualquer ponto X dessa reta pode ser escrito como X=A+t\,\overrightarrow{AB} para algum escalar t.
As perguntas do enunciado são: encontrar as coordenadas de M, N e P que satisfazem as três igualdades vetoriais acima.
Passo 2
Calcular o vetor \overrightarrow{AB}. Por definição \overrightarrow{AB}=B-A, isto é, subtrai-se coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=(-5-2,\;-4-5,\;-1-(-3))
\overrightarrow{AB}=(-7,\;-9,\;2).
Explanação curta: subtrair A de B dá o vetor que vai de A até B. Cada componente é a diferença das coordenadas correspondentes.
Passo 3
Modelo para pontos da reta AB. Qualquer ponto X sobre a reta pode ser escrito como
\overrightarrow{AX}=t\,\overrightarrow{AB},
onde t é um número real. Isso significa as coordenadas de X são
X=A+t\,\overrightarrow{AB},
ou seja, soma-se à posição de A o vetor t vezes \overrightarrow{AB}. Aqui, os escalares dados no enunciado (-\tfrac{1}{9}, \tfrac{7}{9}, \tfrac{7}{8}) são exatamente os valores de t para M, N e P, respectivamente. Antes de somar, lembra: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar; somar vetores é somar suas componentes correspondentes.
Passo 4
Determinar M com t=-\tfrac{1}{9}.
Primeiro calcular \overrightarrow{AM}=-\tfrac{1}{9}\,\overrightarrow{AB}: