Dados os pontos A=(2,5,-3) e B=(-5,-4,-1), determinar os pontos M_{i}, N e P pertencentes à reta passando por A e B tais que
\overrightarrow{A M}=-\frac{1}{9} \overrightarrow{A B}, \quad \overrightarrow{A N}=\frac{7}{9} \overrightarrow{A B} \quad \text { e } \quad \overrightarrow{A P}=\frac{7}{8} \overrightarrow{A B}
M \square
P \square

Passo 1

O enunciado fornece os pontos A=(2,5,-3) e B=(-5,-4,-1) e pede para determinar os pontos M, N e P que pertencem à reta passando por A e B e satisfazem as relações vetoriais
\overrightarrow{AM}=-\tfrac{1}{9}\,\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AN}=\tfrac{7}{9}\,\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AP}=\tfrac{7}{8}\,\overrightarrow{AB}.
Informações relevantes dadas:
  • Coordenadas de A: A=(2,5,-3).
  • Coordenadas de B: B=(-5,-4,-1).
  • A reta procurada é a que passa por A e B; qualquer ponto X dessa reta pode ser escrito como X=A+t\,\overrightarrow{AB} para algum escalar t.
    As perguntas do enunciado são: encontrar as coordenadas de M, N e P que satisfazem as três igualdades vetoriais acima.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}. Por definição \overrightarrow{AB}=B-A, isto é, subtrai-se coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=(-5-2,\;-4-5,\;-1-(-3))
\overrightarrow{AB}=(-7,\;-9,\;2).
Explanação curta: subtrair A de B dá o vetor que vai de A até B. Cada componente é a diferença das coordenadas correspondentes.

Passo 3

Modelo para pontos da reta AB. Qualquer ponto X sobre a reta pode ser escrito como
\overrightarrow{AX}=t\,\overrightarrow{AB},
onde t é um número real. Isso significa as coordenadas de X são
X=A+t\,\overrightarrow{AB},
ou seja, soma-se à posição de A o vetor t vezes \overrightarrow{AB}. Aqui, os escalares dados no enunciado ( -\tfrac{1}{9}, \tfrac{7}{9}, \tfrac{7}{8}) são exatamente os valores de t para M, N e P, respectivamente. Antes de somar, lembra: multiplicar um vetor por um escalar significa multiplicar cada componente por esse escalar; somar vetores é somar suas componentes correspondentes.

Passo 4

Determinar M com t=-\tfrac{1}{9}.
Primeiro calcular \overrightarrow{AM}=-\tfrac{1}{9}\,\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AM}=-\tfrac{1}{9}\,(-7,-9,2)=\bigl(-\tfrac{1}{9}\cdot(-7),\;-\tfrac{1}{9}\cdot(-9),\;-\tfrac{1}{9}\cdot 2\bigr).
Fazendo as multiplicações:
\overrightarrow{AM}=\bigl(\tfrac{7}{9},\;1,\;-\tfrac{2}{9}\bigr).
Agora M=A+\overrightarrow{AM}:
M=\bigl(2+\tfrac{7}{9},\;5+1,\;-3-\tfrac{2}{9}\bigr).
Somando as componentes (colocando em comum denominador quando necessário):
2+\tfrac{7}{9}=\tfrac{18}{9}+\tfrac{7}{9}=\tfrac{25}{9},\qquad 5+1=6,\qquad -3-\tfrac{2}{9}=-\tfrac{27}{9}-\tfrac{2}{9}=-\tfrac{29}{9}.
Portanto
M=\bigl(\tfrac{25}{9},\;6,\;-\tfrac{29}{9}\bigr).

Passo 5

Determinar N com t=\tfrac{7}{9}.
Calcular \overrightarrow{AN}=\tfrac{7}{9}\,\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AN}=\tfrac{7}{9}\,(-7,-9,2)=\bigl(\tfrac{7}{9}\cdot(-7),\;\tfrac{7}{9}\cdot(-9),\;\tfrac{7}{9}\cdot 2\bigr).
Fazendo as multiplicações:
\overrightarrow{AN}=\bigl(-\tfrac{49}{9},\;-7,\;\tfrac{14}{9}\bigr).
Agora N=A+\overrightarrow{AN}:
N=\bigl(2-\tfrac{49}{9},\;5-7,\;-3+\tfrac{14}{9}\bigr).
Somando/subtraindo as componentes:
2-\tfrac{49}{9}=\tfrac{18}{9}-\tfrac{49}{9}=-\tfrac{31}{9},\qquad 5-7=-2,\qquad -3+\tfrac{14}{9}=-\tfrac{27}{9}+\tfrac{14}{9}=-\tfrac{13}{9}.
Portanto
N=\bigl(-\tfrac{31}{9},\;-2,\;-\tfrac{13}{9}\bigr).

Passo 6

Determinar P com t=\tfrac{7}{8}.
Calcular \overrightarrow{AP}=\tfrac{7}{8}\,\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AP}=\tfrac{7}{8}\,(-7,-9,2)=\bigl(\tfrac{7}{8}\cdot(-7),\;\tfrac{7}{8}\cdot(-9),\;\tfrac{7}{8}\cdot 2\bigr).
Fazendo as multiplicações:
\overrightarrow{AP}=\bigl(-\tfrac{49}{8},\;-\tfrac{63}{8},\;\tfrac{14}{8}\bigr).
Simplificando a terceira componente \tfrac{14}{8}=\tfrac{7}{4}. Agora P=A+\overrightarrow{AP}:
P=\bigl(2-\tfrac{49}{8},\;5-\tfrac{63}{8},\;-3+\tfrac{7}{4}\bigr).
Colocando tudo em oitavos ou quartos:
2-\tfrac{49}{8}=\tfrac{16}{8}-\tfrac{49}{8}=-\tfrac{33}{8},\qquad 5-\tfrac{63}{8}=\tfrac{40}{8}-\tfrac{63}{8}=-\tfrac{23}{8},
-3+\tfrac{7}{4}=-\tfrac{12}{4}+\tfrac{7}{4}=-\tfrac{5}{4}.
Portanto
P=\bigl(-\tfrac{33}{8},\;-\tfrac{23}{8},\;-\tfrac{5}{4}\bigr).

Resposta

M=\bigl(\tfrac{25}{9},\;6,\;-\tfrac{29}{9}\bigr)
N=\bigl(-\tfrac{31}{9},\;-2,\;-\tfrac{13}{9}\bigr)
P=\bigl(-\tfrac{33}{8},\;-\tfrac{23}{8},\;-\tfrac{5}{4}\bigr)

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