Dados os pontos A=(2,6,-4) e B=(9,1,-5), determinar os pontos M, N e P pertencentes à reta passando por A e B tais que
\overrightarrow{A M}=\frac{5}{2} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A N}=\frac{6}{5} \overrightarrow{A B} \text { e } \overrightarrow{A P}=\frac{8}{5} \overrightarrow{A B}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados os pontos A=(2,6,-4) e B=(9,1,-5).
  • Pede-se determinar os pontos M, N e P que pertencem à reta passando por A e B e satisfazem:
\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\,\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AN}=\frac{6}{5}\,\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AP}=\frac{8}{5}\,\overrightarrow{AB}.
  • Informação importante (retirada do enunciado): os vetores \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AP} são múltiplos escalares do vetor \overrightarrow{AB}. Para obter as coordenadas de um ponto X sabendo \overrightarrow{AX}, usamos a soma de vetores posição: as coordenadas de X são as de A somadas às componentes de \overrightarrow{AX}.

Passo 2

Calcular o vetor \overrightarrow{AB} (diferença coordenada a coordenada; peguei as coordenadas de A e B do enunciado).
\overrightarrow{AB}=B-A=(9-2,\;1-6,\;-5-(-4))=(7,\,-5,\,-1).
Explicação rápida: subtrai-se a coordenada de A da correspondente de B para obter o vetor que vai de A até B.

Passo 3

Explicar e aplicar multiplicação escalar de vetores.
Se \lambda\in\mathbb{R} e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então \lambda\vec{v}=(\lambda v_x,\lambda v_y,\lambda v_z). Vou aplicar isso a \overrightarrow{AB}=(7,-5,-1).
Calcular \overrightarrow{AM}=\dfrac{5}{2}\,\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AM}=\frac{5}{2}\,(7,-5,-1)=\left(\frac{35}{2},\;-\frac{25}{2},\;-\frac{5}{2}\right).
Calcular \overrightarrow{AN}=\dfrac{6}{5}\,\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AN}=\frac{6}{5}\,(7,-5,-1)=\left(\frac{42}{5},\;-\frac{30}{5},\;-\frac{6}{5}\right)=\left(\frac{42}{5},\;-6,\;-\frac{6}{5}\right).
Calcular \overrightarrow{AP}=\dfrac{8}{5}\,\overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AP}=\frac{8}{5}\,(7,-5,-1)=\left(\frac{56}{5},\;-\frac{40}{5},\;-\frac{8}{5}\right)=\left(\frac{56}{5},\;-8,\;-\frac{8}{5}\right).

Passo 4

Explicar como obter as coordenadas dos pontos: se \overrightarrow{AX}=(u,v,w) e A=(a_x,a_y,a_z) então X=A+\overrightarrow{AX}=(a_x+u,\;a_y+v,\;a_z+w). Vou aplicar isso com A=(2,6,-4).
Calcular M=A+\overrightarrow{AM}. Somando componente a componente (faço as somas com frações explícitas para dar segurança):
x_M=2+\frac{35}{2}=\frac{4}{2}+\frac{35}{2}=\frac{39}{2},
y_M=6-\frac{25}{2}=\frac{12}{2}-\frac{25}{2}=-\frac{13}{2},
z_M=-4-\frac{5}{2}=-\frac{8}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}.
Logo
M=\left(\frac{39}{2},\;-\frac{13}{2},\;-\frac{13}{2}\right).

Passo 5

Calcular N=A+\overrightarrow{AN}. Novamente somando componente a componente:
x_N=2+\frac{42}{5}=\frac{10}{5}+\frac{42}{5}=\frac{52}{5},
y_N=6+(-6)=0,
z_N=-4-\frac{6}{5}=-\frac{20}{5}-\frac{6}{5}=-\frac{26}{5}.
Portanto
N=\left(\frac{52}{5},\;0,\;-\frac{26}{5}\right).

Passo 6

Calcular P=A+\overrightarrow{AP}:
x_P=2+\frac{56}{5}=\frac{10}{5}+\frac{56}{5}=\frac{66}{5},
y_P=6+(-8)=-2,
z_P=-4-\frac{8}{5}=-\frac{20}{5}-\frac{8}{5}=-\frac{28}{5}.
Assim
P=\left(\frac{66}{5},\;-2,\;-\frac{28}{5}\right).

Passo 7

Verificação rápida (conceitual): cada vetor \overrightarrow{AX} calculado é proporcional a \overrightarrow{AB} com o escalar pedido, e as coordenadas de M,N,P foram obtidas somando-se \overrightarrow{AX} às coordenadas de A. Isso garante que os pontos estão na reta AB e satisfazem as relações do enunciado.

Resposta

M=\left(\dfrac{39}{2},\;-\dfrac{13}{2},\;-\dfrac{13}{2}\right)
N=\left(\dfrac{52}{5},\;0,\;-\dfrac{26}{5}\right)
P=\left(\dfrac{66}{5},\;-2,\;-\dfrac{28}{5}\right)

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