Informação importante (retirada do enunciado): os vetores \overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AP} são múltiplos escalares do vetor \overrightarrow{AB}. Para obter as coordenadas de um ponto X sabendo \overrightarrow{AX}, usamos a soma de vetores posição: as coordenadas de X são as de A somadas às componentes de \overrightarrow{AX}.
Passo 2
Calcular o vetor \overrightarrow{AB} (diferença coordenada a coordenada; peguei as coordenadas de A e B do enunciado).
Explicação rápida: subtrai-se a coordenada de A da correspondente de B para obter o vetor que vai de A até B.
Passo 3
Explicar e aplicar multiplicação escalar de vetores.
Se \lambda\in\mathbb{R} e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), então \lambda\vec{v}=(\lambda v_x,\lambda v_y,\lambda v_z). Vou aplicar isso a \overrightarrow{AB}=(7,-5,-1).
Explicar como obter as coordenadas dos pontos: se \overrightarrow{AX}=(u,v,w) e A=(a_x,a_y,a_z) então X=A+\overrightarrow{AX}=(a_x+u,\;a_y+v,\;a_z+w). Vou aplicar isso com A=(2,6,-4).
Calcular M=A+\overrightarrow{AM}. Somando componente a componente (faço as somas com frações explícitas para dar segurança):
Verificação rápida (conceitual): cada vetor \overrightarrow{AX} calculado é proporcional a \overrightarrow{AB} com o escalar pedido, e as coordenadas de M,N,P foram obtidas somando-se \overrightarrow{AX} às coordenadas de A. Isso garante que os pontos estão na reta AB e satisfazem as relações do enunciado.