Sendo A=(5,1) e B=(-9,4) extremidades de um segmento, determinar:
os pontos C, D e E que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento;
Passo 1
O enunciado dá os extremos do segmento:
A=(5,1),\qquad B=(-9,4),
e pede os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes iguais (ou seja: três pontos interiores que deixam quatro subsegmentos de mesmo comprimento). Vou identificar claramente o que isso significa: os pontos devem estar em ordem sobre o segmento de modo que
Estratégia (explicação didática): um ponto que divide o segmento AB numa certa fração pode ser obtido por interpolação linear entre as coordenadas de A e B. Se \vec{AB} for o vetor de A para B, então o ponto que está a uma fração t do caminho contado a partir de A tem coordenadas
P(t)=A+t\vec{AB},
onde t\in[0,1]. Para dividir AB em quatro partes iguais queremos os pontos correspondentes a t=\tfrac{1}{4},\\ \tfrac{2}{4},\\ \tfrac{3}{4}. Vou usar essa fórmula porque é simples, direta e dá as coordenadas sem ambiguidade.
Passo 3
Calcular o vetor \vec{AB}:
\vec{AB}=B-A = (-9-5,\;4-1)=(-14,\;3).
Isto significa que, para ir de A a B, subtrai-se 14 unidades em x e soma-se 3 unidades em y.
Verificação rápida (para ter confiança): o comprimento de AB é
|AB|=\sqrt{(-14)^2+3^2}=\sqrt{196+9}=\sqrt{205}.
O vetor AC é \tfrac{1}{4}\vec{AB}, portanto |AC|=\tfrac{1}{4}|AB|=\tfrac{\sqrt{205}}{4}. O mesmo vale para CD, DE e EB (são \tfrac{1}{4}\vec{AB}, \tfrac{1}{4}\vec{AB} e \tfrac{1}{4}\vec{AB} deslocados), confirmando que os pontos realmente dividem o segmento em quatro partes iguais.