Sendo A=(9,-8) e B=(-2,-6) extremidades de um segmento, determinar:
os pontos C, D e E que dividem o segmento A B em quatro partes de mesmo comprimento;

Passo 1

O enunciado dá as extremidades do segmento:
  • A=(9,-8)
  • B=(-2,-6)
O que se pede:
  • Determinar os pontos C, D e E que dividem o segmento \overline{AB} em quatro partes de mesmo comprimento.
    Isto significa que, ao percorrer de A para B, os pontos interiores aparecem nos pontos correspondentes às frações \tfrac{1}{4}, \tfrac{2}{4} e \tfrac{3}{4} do caminho, respectivamente.

Passo 2

Estratégia (conceito que usamos):
Para um segmento de extremidades A e B, qualquer ponto situado entre eles pode ser escrito na forma paramétrica
P(t)=A+t\,\overrightarrow{AB},
onde t é um número real entre 0 e 1, \overrightarrow{AB} é o vetor que vai de A a B, e o ponto com t=\tfrac{k}{4} corresponde à fração \tfrac{k}{4} do caminho de A a B. Aqui queremos t=\tfrac{1}{4},\tfrac{2}{4},\tfrac{3}{4}.
Explicando as variáveis:
  • A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B) são as coordenadas dadas.
  • \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) é o deslocamento de A até B.
  • P(t)=(x_A + t(x_B-x_A),\; y_A + t(y_B-y_A)).

Passo 3

Calcular o vetor \overrightarrow{AB}.
\overrightarrow{AB}=B-A = (-2-9,\;-6-(-8)) = (-11,\;2).

Passo 4

Calcular o quarto desse vetor (o incrementador entre pontos consecutivos quando dividimos em 4 partes iguais):
\frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \left(-\frac{11}{4},\;\frac{2}{4}\right) = \left(-\frac{11}{4},\;\frac{1}{2}\right).
Esse vetor é o deslocamento que, somado sucessivamente a A, dá os pontos C,D,E,B.

Passo 5

Calcular C que corresponde a t=\tfrac{1}{4}:
C = A + \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.
Componentes:
x_C = 9 - \frac{11}{4} = \frac{36}{4}-\frac{11}{4} = \frac{25}{4}, \qquad y_C = -8 + \frac{1}{2} = -\frac{16}{2}+\frac{1}{2} = -\frac{15}{2}.
Portanto
C=\left(\frac{25}{4},\; -\frac{15}{2}\right).

Passo 6

Calcular D que corresponde a t=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}:
D = A + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.
Componentes:
x_D = 9 - \frac{11}{2} = \frac{18}{2}-\frac{11}{2} = \frac{7}{2}, \qquad y_D = -8 + 1 = -7.
Portanto
D=\left(\frac{7}{2},\; -7\right).

Passo 7

Calcular E que corresponde a t=\tfrac{3}{4}:
E = A + \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}.
Componentes:
x_E = 9 - \frac{33}{4} = \frac{36}{4}-\frac{33}{4} = \frac{3}{4}, \qquad y_E = -8 + \frac{3}{2} = -\frac{16}{2}+\frac{3}{2} = -\frac{13}{2}.
Portanto
E=\left(\frac{3}{4},\; -\frac{13}{2}\right).

Passo 8

Verificação (checagem rápida de que os segmentos têm o mesmo comprimento):
O deslocamento entre pontos consecutivos (por exemplo C-D ou D-E) é sempre \frac{1}{4}\overrightarrow{AB} = \left(-\tfrac{11}{4},\tfrac{1}{2}\right). O comprimento de cada parte é
\sqrt{\left(-\tfrac{11}{4}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\tfrac{121}{16}+\tfrac{1}{4}} = \sqrt{\tfrac{121+4}{16}} = \sqrt{\tfrac{125}{16}} = \frac{\sqrt{125}}{4},
valor igual para cada uma das quatro partes, confirmando que C,D,E dividem \overline{AB} em quatro partes congruentes.

Resposta

C=\left(\dfrac{25}{4},\;-\dfrac{15}{2}\right)
D=\left(\dfrac{7}{2},\;-7\right)
E=\left(\dfrac{3}{4},\;-\dfrac{13}{2}\right)

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