Sendo A=(5,1) e B=(-9,4) extremidades de um segmento, determinar:
os pontos F e G que dividem o segmento A B em três partes de mesmo comprimento.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos extremos do segmento: A=(5,1) e B=(-9,4).
Pede-se encontrar os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento (ou seja, os pontos internos que ficam a 1/3 e a 2/3 do caminho de A até B).
Informações relevantes dadas:
  • A=(5,1)
  • B=(-9,4)
  • Queremos pontos sobre o segmento AB tais que os comprimentos AF, FG e GB sejam iguais.

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): um ponto que esteja na fração t do caminho de A para B (com 0\le t\le1) tem coordenadas obtidas por “interpolação linear”
P(A,B;t)=A+t(B-A).
Aqui A e B são vetores de coordenadas, B-A é o vetor deslocamento do ponto A até B, e t diz que estamos avançando uma fração t desse deslocamento a partir de A. Para dividir o segmento em três partes iguais usamos t=\tfrac{1}{3} (para o primeiro ponto) e t=\tfrac{2}{3} (para o segundo).

Passo 3

Calcular o vetor deslocamento \overrightarrow{AB}=B-A. Subtraindo coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=(-9-5,\;4-1)=(-14,\;3).

Passo 4

Calcular F como A+\tfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}. Fazer coordenada a coordenada:
x de F:
5+\tfrac{1}{3}(-14)=5-\tfrac{14}{3}=\tfrac{15-14}{3}=\tfrac{1}{3}.
y de F:
1+\tfrac{1}{3}\cdot 3=1+1=2.
Portanto
F=\left(\tfrac{1}{3},2\right).

Passo 5

Calcular G como A+\tfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}. Novamente coordenada a coordenada:
x de G:
5+\tfrac{2}{3}(-14)=5-\tfrac{28}{3}=\tfrac{15-28}{3}=-\tfrac{13}{3}.
y de G:
1+\tfrac{2}{3}\cdot 3=1+2=3.
Portanto
G=\left(-\tfrac{13}{3},3\right).

Passo 6

Verificação final (para ganhar confiança): calcular os comprimentos AF, FG e GB para confirmar que são iguais.
Primeiro, comprimento de AB:
|AB|=\sqrt{(-14)^2+3^2}=\sqrt{196+9}=\sqrt{205}.
Um terço disso é \dfrac{\sqrt{205}}{3}.
Agora AF: vetor \overrightarrow{AF}=F-A=\left(\tfrac{1}{3}-5,\;2-1\right)=\left(-\tfrac{14}{3},\;1\right). O comprimento é
|AF|=\sqrt{\left(-\tfrac{14}{3}\right)^2+1^2}=\sqrt{\tfrac{196}{9}+1}=\sqrt{\tfrac{205}{9}}=\dfrac{\sqrt{205}}{3}.
Vetor \overrightarrow{FG}=G-F=\left(-\tfrac{13}{3}-\tfrac{1}{3},\;3-2\right)=\left(-\tfrac{14}{3},\;1\right), logo
|FG|=\dfrac{\sqrt{205}}{3}.
Vetor \overrightarrow{GB}=B-G=\left(-9-(-\tfrac{13}{3}),\;4-3\right)=\left(-\tfrac{14}{3},\;1\right), logo
|GB|=\dfrac{\sqrt{205}}{3}.
Todos os três comprimentos coincidem, portanto a construção está correta.

Resposta

F=\left(\tfrac{1}{3},2\right)
G=\left(-\tfrac{13}{3},3\right)

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