Sendo A=(9,-8) e B=(-2,-6) extremidades de um segmento, determinar:
os pontos F e G que dividem o segmento A B em três partes de mesmo comprimento.

Passo 1

O enunciado dá as extremidades do segmento:
  • A=(9,-8)
  • B=(-2,-6)
O que se pede:
  • Determinar os pontos F e G que dividem o segmento \overline{AB} em três partes de mesmo comprimento, ou seja, achar dois pontos interiores tais que
AF = FG = GB.

Passo 2

Ideia / fórmula que vamos usar (explicação detalhada e didática):
  • Se A=(x_A,y_A) e B=(x_B,y_B), qualquer ponto P do segmento \overline{AB} pode ser escrito em forma paramétrica como
P = A + t\,(B-A),
onde t é um número real entre 0 e 1. Aqui:
  • t=0 P=A,
  • t=1 P=B,
  • valores intermediários dão pontos entre A e B.
  • Para dividir \overline{AB} em n partes iguais, os parâmetros que dão os pontos de divisão são t=\dfrac{1}{n},\dfrac{2}{n},\dots,\dfrac{n-1}{n}.
  • No nosso caso queremos três partes iguais ( n=3). Logo os pontos internos correspondem a
    • t=\dfrac{1}{3} (primeiro ponto F),
    • t=\dfrac{2}{3} (segundo ponto G).
  • Explicando cada símbolo:
    • A e B são os vetores posição dos pontos dados,
    • B-A é o vetor que vai de A para B,
    • t(B-A) é um passo proporcional a esse vetor; ao somar em A obtemos o ponto desejado.

Passo 3

Calcular o vetor B-A (passo a passo):
B-A = \bigl(x_B-x_A,\;y_B-y_A\bigr).
Com os números dados:
B-A = \bigl(-2-9,\;-6-(-8)\bigr) = (-11,\;2).
Agora calcular \dfrac{1}{3}(B-A):
\dfrac{1}{3}(B-A) = \left(-\dfrac{11}{3},\;\dfrac{2}{3}\right).

Passo 4

Determinar F (aplicando t=\dfrac{1}{3}):
F = A + \dfrac{1}{3}(B-A).
Computando coordenada a coordenada:
x_F = 9 + \left(-\dfrac{11}{3}\right) = \dfrac{27}{3}-\dfrac{11}{3} = \dfrac{16}{3},
y_F = -8 + \dfrac{2}{3} = -\dfrac{24}{3}+\dfrac{2}{3} = -\dfrac{22}{3}.
Portanto
F=\left(\dfrac{16}{3},\;-\dfrac{22}{3}\right).

Passo 5

Determinar G (aplicando t=\dfrac{2}{3}):
G = A + \dfrac{2}{3}(B-A).
Primeiro \dfrac{2}{3}(B-A):
\dfrac{2}{3}(B-A) = \left(-\dfrac{22}{3},\;\dfrac{4}{3}\right).
Agora as coordenadas de G:
x_G = 9 - \dfrac{22}{3} = \dfrac{27}{3}-\dfrac{22}{3} = \dfrac{5}{3},
y_G = -8 + \dfrac{4}{3} = -\dfrac{24}{3}+\dfrac{4}{3} = -\dfrac{20}{3}.
Logo
G=\left(\dfrac{5}{3},\;-\dfrac{20}{3}\right).

Passo 6

Verificação rápida (mostrando que as três partes têm o mesmo comprimento):
  • O vetor total \,B-A = (-11,2)\, tem norma
\lVert B-A\rVert = \sqrt{(-11)^2+2^2} = \sqrt{121+4} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}.
  • Como AF = \dfrac{1}{3}\lVert B-A\rVert, FG = \dfrac{1}{3}\lVert B-A\rVert e GB = \dfrac{1}{3}\lVert B-A\rVert, as três partes têm o mesmo comprimento. Isso decorre do fato de que F e G foram obtidos com t=\dfrac{1}{3} e t=\dfrac{2}{3}.

Resposta

F=\left(\dfrac{16}{3},\;-\dfrac{22}{3}\right)
G=\left(\dfrac{5}{3},\;-\dfrac{20}{3}\right)

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