Sendo
e
extremidades de um segmento, determinar:
os pontos
e
que dividem o segmento
em três partes de mesmo comprimento.
os pontos
Passo 1
O enunciado dá as extremidades do segmento:
O que se pede:
- Determinar os pontos
e que dividem o segmento em três partes de mesmo comprimento, ou seja, achar dois pontos interiores tais que
Passo 2
Ideia / fórmula que vamos usar (explicação detalhada e didática):
- Se
e , qualquer ponto do segmento pode ser escrito em forma paramétrica como
onde
é um número real entre
e
. Aqui:
-
dá , -
dá , - valores intermediários dão pontos entre
e . - Para dividir
em partes iguais, os parâmetros que dão os pontos de divisão são . - No nosso caso queremos três partes iguais (
). Logo os pontos internos correspondem a-
(primeiro ponto ), -
(segundo ponto ).
-
- Explicando cada símbolo:
-
e são os vetores posição dos pontos dados, -
é o vetor que vai de para , -
é um passo proporcional a esse vetor; ao somar em obtemos o ponto desejado.
-
Passo 3
Calcular o vetor
(passo a passo):
Com os números dados:
Agora calcular
:
Passo 4
Determinar
(aplicando
):
Computando coordenada a coordenada:
Portanto
Passo 5
Determinar
(aplicando
):
Primeiro
:
Agora as coordenadas de
:
Logo
Passo 6
Verificação rápida (mostrando que as três partes têm o mesmo comprimento):
- O vetor total
tem norma
- Como
, e , as três partes têm o mesmo comprimento. Isso decorre do fato de que e foram obtidos com e .