Sendo boldsymbol{G}=2 x^{2} y \hat{\mathrm{a}}_{boldsymbol{x}}-(4 x+z) \hat{\mathrm{a}}_{boldsymbol{y}}, calcule a integral de linha \int \boldsymbol{G} . \boldsymbol{d L} do ponto \mathrm{P}(1,1,1) ao ponto \mathrm{Q}(3,5,1) utilizando os seguintes caminhos:
Reta: \mathrm{y}=2 \mathrm{x}-1, \mathrm{z}=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int \mathbf{G}\cdot d\mathbf{L} do ponto P(1,1,1) até o ponto Q(3,5,1) ao longo da reta dada por \mathrm{y}=2\mathrm{x}-1 e \mathrm{z}=1.
As informações fornecidas são:
  • O campo vetorial é \mathbf{G}=2 x^{2} y\,\hat{\mathbf{a}}_{x}-(4 x+z)\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.
  • O caminho é a reta que liga P a Q com equações paramétricas \mathrm{y}=2\mathrm{x}-1 e \mathrm{z}=1.
  • Os pontos inicial e final são P(1,1,1) e Q(3,5,1).
O que se pede: calcular \displaystyle \int_{P}^{Q}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{L} ao longo desse caminho.

Passo 2

Escolher uma parametrização simples. Como y e z estão dados em função de x, uso x como parâmetro: defino t=x. Assim
\mathbf{r}(t)=t\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+(2t-1)\,\hat{\mathbf{a}}_{y}+1\,\hat{\mathbf{a}}_{z},
com o parâmetro variando de t=1 (em P) até t=3 (em Q). Esta escolha é válida porque ao varrer t de 1 a 3 percorremos exatamente a reta entre P e Q.

Passo 3

Calcular o diferencial de comprimento vetorial d\mathbf{L}. Em parametrização,
d\mathbf{L}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}\,dt.
Derivando componente a componente:
\frac{d\mathbf{r}}{dt}=1\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+2\,\hat{\mathbf{a}}_{y}+0\,\hat{\mathbf{a}}_{z},
portanto
d\mathbf{L}=(1\,\hat{\mathbf{a}}_{x}+2\,\hat{\mathbf{a}}_{y})\,dt.

Passo 4

Avaliar o campo \mathbf{G} ao longo do caminho, substituindo x=t, y=2t-1, z=1:
\mathbf{G}(\mathbf{r}(t))=2 t^{2}(2t-1)\,\hat{\mathbf{a}}_{x}-(4t+1)\,\hat{\mathbf{a}}_{y}.
Expliquei: substituiu-se y e z pelas expressões do caminho.

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{G}\cdot d\mathbf{L}. Usando as componentes:
\mathbf{G}\cdot d\mathbf{L}=\big(2 t^{2}(2t-1)\big)\cdot 1\,dt+\big(-(4t+1)\big)\cdot 2\,dt.
Isso dá, agrupando:
\mathbf{G}\cdot d\mathbf{L}=\big(2 t^{2}(2t-1)-2(4t+1)\big)\,dt.

Passo 6

Simplificar o integrando. Primeiro expandir 2 t^{2}(2t-1):
2 t^{2}(2t-1)=4 t^{3}-2 t^{2}.
Subtraindo 2(4t+1)=8t+2, o integrando fica
4 t^{3}-2 t^{2}-8t-2.

Passo 7

Montar a integral e calcular sua primitiva. A integral desejada é
\int_{t=1}^{t=3}\big(4 t^{3}-2 t^{2}-8t-2\big)\,dt.
Calculo a antiderivada termo a termo:
\int 4 t^{3}\,dt = t^{4},\qquad \int -2 t^{2}\,dt = -\tfrac{2}{3}t^{3},
\int -8t\,dt = -4 t^{2},\qquad \int -2\,dt = -2t.
Logo uma primitiva é
F(t)=t^{4}-\tfrac{2}{3}t^{3}-4 t^{2}-2t.
Agora avalio entre 1 e 3.

Passo 8

Avaliar a primitiva nos limites:
F(3)=3^{4}-\tfrac{2}{3}\cdot 3^{3}-4\cdot 3^{2}-2\cdot 3 =81-18-36-6=21,
F(1)=1-\tfrac{2}{3}-4-2=1-\tfrac{2}{3}-6=-\tfrac{17}{3}.
A diferença é
F(3)-F(1)=21-(-\tfrac{17}{3})=\tfrac{63}{3}+\tfrac{17}{3}=\tfrac{80}{3}.

Resposta

\dfrac{80}{3}

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