c) Explique a razão do resultado acima está de acordo com a lei de Ampère, apesar de a integral não ser tomada sobre um circuito fechado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras. Vou listar o que nos dão e o que precisamos achar, sem começar a resolver ainda.
Dados que o enunciado dá implicitamente:
Uma espira circular, de raio \,a (vou chamar o raio de \,a,), localizada no plano xy com o seu centro na origem.
Uma corrente elétrica constante \,I, circulando na espira.
O ponto onde queremos o campo está no eixo da espira (eixo z), a uma distância \,z, do centro da espira.
O que o enunciado pede:
(a) Calcular o campo magnético \mathrm{B}(z) no eixo da espira, isto é, o valor de \mathrm{B} no ponto (0,0,z) em função de \,a e \,I.
(b) Mostrar que \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{B}(z)\,\mathrm{d}z=\mu_{0}\,I.
(c) Explicar por que o resultado do item (b) está de acordo com a lei de Ampère, mesmo que a integral de (b) não seja sobre um circuito fechado.
Observação importante (para usar depois): vamos usar a lei de Biot–Savart para calcular o campo produzido por um elemento de corrente e usar simetria para integrar sobre a espira inteira.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: a lei de Biot–Savart e o que cada símbolo significa.
A lei de Biot–Savart (para campo magnético produzido por um fio com corrente) diz que o campo diferencial \mathrm{d}\mathbf{B} produzido por um elemento de corrente \,I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} em um ponto com vetor posição relativo \mathbf{r} é
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} é o vetor elemento do fio (direção da corrente, módulo igual ao comprimento do elemento).
\mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo.
r=\|\mathbf{r}\| é a distância do elemento até o ponto.
No caso da espira circular: por simetria, o campo no eixo tem apenas componente ao longo de \mathbf{\hat z}. Isso significa que, ao integrar o vetor \mathrm{d}\mathbf{B} ao redor da espira, as componentes transversais se cancelam e sobra só a componente axial \mathrm{d}B_{z}.
Vou agora aplicar a fórmula explicitamente escolhendo coordenadas e calculando \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}, \mathbf{r} e o produto vetorial.
Passo 3
Escolha de coordenadas e expressão dos vetores elemento — computando explicitamente a componente axial do campo.
Parametrização da espira: um ponto da espira pode ser escrito como
No Biot–Savart usamos \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}. Vamos calcular sua componente z, porque só ela sobreviverá após integrar pela simetria:
Calculemos (\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{\hat k}. Fazendo o produto vetorial (determinante),
Observação: as outras componentes do produto vetorial dependem de \varphi e se cancelam ao integrar sobre \varphi, por simetria circular.
Assim, usando a forma \mathrm{d}\mathbf{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}I\,\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}}{r^{3}}, a contribuição axial (z) de cada elemento é
Isto responde o item (a). Interpretação rápida: em z=0 (centro da espira) temos B(0)=\dfrac{\mu_{0}I}{2a}; para |z|\gg a o campo decai como \sim 1/z^{3}, comportamento de dipolo magnético.
onde I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície limitada por C.
A integral do item (b) não é escrita como um circuito fechado, mas podemos completá‑la em um contorno fechado sem alterar o valor da integral se escolhermos um caminho de retorno onde a contribuição de \mathbf{B} seja nula ou desprezível.
Construa um caminho fechado C que vá ao longo do eixo z de z=-\infty até z=+\infty (essa é a integral que calculámos) e, em seguida, feche o caminho por uma curva de retorno muito distante (por exemplo uma semicircunferência de raio muito grande que passa por fora da espira) que volta de +\infty a -\infty.
Para essa curva de retorno escolhida suficientemente distante, o campo magnético produzido pela espira é praticamente zero (ou tende a zero), porque o campo cai rapidamente com a distância (a lei mostra decaimento \sim 1/r^{3} à distância). Assim a contribuição da parte de retorno é nula.
O caminho fechado resultante envolve topologicamente a espira uma vez (tem número de ligação igual a 1), então, pela lei de Ampère, a integral de \mathbf{B} ao longo desse caminho fechado é \mu_{0}I.
Como a contribuição da curva de retorno é nula, a integral ao longo do eixo (a integral que fizemos) é igual à integral total fechada, logo igual a \mu_{0}I.
Em termos mais topológicos: o que importa para Ampère é quantas vezes o caminho “envolve” a corrente (o número de ligação). A integral ao longo do eixo mais um caminho de retorno em infinito forma uma curva que envolve a espira uma vez, então a integral retorna \mu_{0}I. Portanto o resultado do item (b) é perfeitamente compatível com a lei de Ampère.
(c) Porque a integral ao longo do eixo pode ser completada por um caminho de retorno à distância onde \mathbf{B} é desprezível, formando um contorno fechado que envolve a espira uma vez; pela lei de Ampère a circulação nesse contorno fechado vale \mu_{0}I, logo a integral ao longo do eixo dá \mu_{0}I.