a) Calcule o campo magnético B(z) no eixo de uma espira circular na qual circula uma corrente I. b) Mostre que
\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{B}(z) \mathrm{d} z=\mu_{0} \mathrm{I} .
c) Explique a razão do resultado acima está de acordo com a lei de Ampère, apesar de a integral não ser tomada sobre um circuito fechado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras. Vou listar o que nos dão e o que precisamos achar, sem começar a resolver ainda.
  • Dados que o enunciado dá implicitamente:
    • Uma espira circular, de raio \,a (vou chamar o raio de \,a,), localizada no plano xy com o seu centro na origem.
    • Uma corrente elétrica constante \,I, circulando na espira.
    • O ponto onde queremos o campo está no eixo da espira (eixo z), a uma distância \,z, do centro da espira.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Calcular o campo magnético \mathrm{B}(z) no eixo da espira, isto é, o valor de \mathrm{B} no ponto (0,0,z) em função de \,a e \,I.
    • (b) Mostrar que \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{B}(z)\,\mathrm{d}z=\mu_{0}\,I.
    • (c) Explicar por que o resultado do item (b) está de acordo com a lei de Ampère, mesmo que a integral de (b) não seja sobre um circuito fechado.
  • Observação importante (para usar depois): vamos usar a lei de Biot–Savart para calcular o campo produzido por um elemento de corrente e usar simetria para integrar sobre a espira inteira.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: a lei de Biot–Savart e o que cada símbolo significa.
  • A lei de Biot–Savart (para campo magnético produzido por um fio com corrente) diz que o campo diferencial \mathrm{d}\mathbf{B} produzido por um elemento de corrente \,I\,\mathrm{d}\boldsymbol{\ell} em um ponto com vetor posição relativo \mathbf{r} é
\mathrm{d}\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}}{r^{3}}.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
  • \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} é o vetor elemento do fio (direção da corrente, módulo igual ao comprimento do elemento).
  • \mathbf{r} é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde se calcula o campo.
  • r=\|\mathbf{r}\| é a distância do elemento até o ponto.
  • No caso da espira circular: por simetria, o campo no eixo tem apenas componente ao longo de \mathbf{\hat z}. Isso significa que, ao integrar o vetor \mathrm{d}\mathbf{B} ao redor da espira, as componentes transversais se cancelam e sobra só a componente axial \mathrm{d}B_{z}.
Vou agora aplicar a fórmula explicitamente escolhendo coordenadas e calculando \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}, \mathbf{r} e o produto vetorial.

Passo 3

Escolha de coordenadas e expressão dos vetores elemento — computando explicitamente a componente axial do campo.
  • Parametrização da espira: um ponto da espira pode ser escrito como
\mathbf{R}'(\varphi)=a\cos\varphi\,\mathbf{\hat i}+a\sin\varphi\,\mathbf{\hat j},
com \varphi\in[0,2\pi). O elemento de comprimento (vetor tangente) é
\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{R}'}{\mathrm{d}\varphi}\,\mathrm{d}\varphi = \bigl(-a\sin\varphi\,\mathbf{\hat i}+a\cos\varphi\,\mathbf{\hat j}\bigr)\,\mathrm{d}\varphi.
  • O ponto onde calculamos o campo é \mathbf{R}=(0,0,z). Então o vetor que vai do elemento até o ponto é
\mathbf{r}=\mathbf{R}-\mathbf{R}'=(-a\cos\varphi)\,\mathbf{\hat i}+(-a\sin\varphi)\,\mathbf{\hat j}+z\,\mathbf{\hat k}.
  • No Biot–Savart usamos \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}. Vamos calcular sua componente z, porque só ela sobreviverá após integrar pela simetria:
    • Calculemos (\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r})\cdot\mathbf{\hat k}. Fazendo o produto vetorial (determinante),
(\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r})_{z} = \det\begin{pmatrix} - a\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi & a\cos\varphi\,\mathrm{d}\varphi \\\\ - a\cos\varphi & - a\sin\varphi \end{pmatrix} = a^{2}\,\mathrm{d}\varphi.
  • Observação: as outras componentes do produto vetorial dependem de \varphi e se cancelam ao integrar sobre \varphi, por simetria circular.
  • Assim, usando a forma \mathrm{d}\mathbf{B}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}I\,\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r}}{r^{3}}, a contribuição axial (z) de cada elemento é
\mathrm{d}B_{z}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{(\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times\mathbf{r})_{z}}{r^{3}} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{a^{2}\,\mathrm{d}\varphi}{r^{3}}.
  • Aqui r=\sqrt{a^{2}+z^{2}} (observe que \| \mathbf{r}\|^{2}=a^{2}+z^{2}, independente de \varphi, o que facilita muito a integração).
  • Integramos \varphi de 0 a 2\pi:
B_{z}(z)=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}B_{z} = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{a^{2}}{r^{3}}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\varphi = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\,I\,\frac{a^{2}}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\cdot 2\pi .
  • Simplificando:
\boxed{\,B(z)=\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\,(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,}
Isto responde o item (a). Interpretação rápida: em z=0 (centro da espira) temos B(0)=\dfrac{\mu_{0}I}{2a}; para |z|\gg a o campo decai como \sim 1/z^{3}, comportamento de dipolo magnético.

Passo 4

Cálculo da integral do item (b):
\int_{-\infty}^{+\infty} B(z)\,\mathrm{d}z = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mu_{0}I a^{2}}{2\,(a^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\mathrm{d}z = \frac{\mu_{0}I a^{2}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}z}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}}.
Vamos calcular a integral própria. Use a substituição trigonométrica \,z=a\tan\theta, com \theta\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Então
\mathrm{d}z=a\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta,\qquad a^{2}+z^{2}=a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Logo o integrando fica
\frac{\mathrm{d}z}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}} = \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta}{a^{3}\operatorname{sec}^{3}\theta} = \frac{\cos\theta}{a^{2}}\,\mathrm{d}\theta.
Os limites z\to-\infty e z\to+\infty correspondem a \theta\to -\tfrac{\pi}{2} e \theta\to +\tfrac{\pi}{2}. Então
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}z}{(a^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{1}{a^{2}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \frac{1}{a^{2}}\bigl[ \sin\theta \bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{2}{a^{2}}.
Substituindo de volta,
\int_{-\infty}^{+\infty} B(z)\,\mathrm{d}z = \frac{\mu_{0}I a^{2}}{2}\cdot\frac{2}{a^{2}}=\mu_{0}I.
Portanto provamos (b):
\boxed{\,\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} B(z)\,\mathrm{d}z=\mu_{0}I\,. \,}

Passo 5

Explicação física do item (c): por que isso está de acordo com a lei de Ampère mesmo sem integrar sobre um circuito fechado.
  • A lei integral de Ampère (na forma clássica, sem correntes de deslocamento) afirma que, para qualquer curva fechada C,
\oint_{C}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente atravessando a superfície limitada por C.
  • A integral do item (b) não é escrita como um circuito fechado, mas podemos completá‑la em um contorno fechado sem alterar o valor da integral se escolhermos um caminho de retorno onde a contribuição de \mathbf{B} seja nula ou desprezível.
    • Construa um caminho fechado C que vá ao longo do eixo z de z=-\infty até z=+\infty (essa é a integral que calculámos) e, em seguida, feche o caminho por uma curva de retorno muito distante (por exemplo uma semicircunferência de raio muito grande que passa por fora da espira) que volta de +\infty a -\infty.
    • Para essa curva de retorno escolhida suficientemente distante, o campo magnético produzido pela espira é praticamente zero (ou tende a zero), porque o campo cai rapidamente com a distância (a lei mostra decaimento \sim 1/r^{3} à distância). Assim a contribuição da parte de retorno é nula.
    • O caminho fechado resultante envolve topologicamente a espira uma vez (tem número de ligação igual a 1), então, pela lei de Ampère, a integral de \mathbf{B} ao longo desse caminho fechado é \mu_{0}I.
    • Como a contribuição da curva de retorno é nula, a integral ao longo do eixo (a integral que fizemos) é igual à integral total fechada, logo igual a \mu_{0}I.
  • Em termos mais topológicos: o que importa para Ampère é quantas vezes o caminho “envolve” a corrente (o número de ligação). A integral ao longo do eixo mais um caminho de retorno em infinito forma uma curva que envolve a espira uma vez, então a integral retorna \mu_{0}I. Portanto o resultado do item (b) é perfeitamente compatível com a lei de Ampère.

Resposta

(a) \displaystyle B(z)=\frac{\mu_{0}\,I\,a^{2}}{2\,(a^{2}+z^{2})^{3/2}}.
(b) \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} B(z)\,\mathrm{d}z=\mu_{0}I.
(c) Porque a integral ao longo do eixo pode ser completada por um caminho de retorno à distância onde \mathbf{B} é desprezível, formando um contorno fechado que envolve a espira uma vez; pela lei de Ampère a circulação nesse contorno fechado vale \mu_{0}I, logo a integral ao longo do eixo dá \mu_{0}I.

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