Seja uma superfície fechada
contornando um volume
do espaço, mergulhado em um campo vetorial
de tal forma que
, com
e
o vetor normal à superfície infinitesimal dS. Demonstre, matematicamente, que B não pode ser um campo magnético.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma demonstração. Informações dadas:
- Há uma superfície fechada
que contorna um volume . - Existe um campo vetorial
mergulhando esse volume tal que
com
. Aqui
é o vetor normal exterior à superfície elementar
.
O que o enunciado pede:
- Demonstrar, matematicamente, que
não pode ser um campo magnético (isto é, não pode ser um campo que satisfaça as equações usuais do magnetismo).
Passo 2
Lembrete importante (teorema da divergência / Teorema de Gauss): para um campo vetorial suficientemente suave
definido em um volume
com superfície fechada
, vale a identidade
Explicação didática do que isso significa:
- O lado esquerdo é o fluxo total de
saindo por . - O lado direito integra a divergência
sobre todo o volume; a divergência em um ponto mede, intuitivamente, a taxa líquida de “saída” de fluxo por unidade de volume naquele ponto. - Uma derivação intuitiva: dividir
em muitos cubinhos, somar o fluxo das faces internas (que se cancelam em pares) e restarão só as faces da fronteira ; cada cubinho contribui aproximadamente ; somando dá a integral de .
Passo 3
Aplicando o teorema da divergência ao campo
e ao volume
do enunciado obtemos
Como no enunciado o lado esquerdo é
, temos
Passo 4
Agora trago a lei fundamental do magnetismo usada na eletromagnetismo clássico (Lei de Gauss para o campo magnético / equação de Maxwell):
em todo ponto do espaço — isto expressa a ausência de monopólios magnéticos no eletromagnetismo clássico. Explicando: se
em todo
, então a integral da divergência sobre
é zero:
Passo 5
Comparando as conclusões dos passos anteriores:
- Pelo teorema da divergência aplicado a
temos . - Pela lei de Gauss para o magnetismo teríamos
.
Essas duas afirmações são incompatíveis; portanto, assumir que
é um campo magnético (no sentido das equações de Maxwell sem monopolos) leva a uma contradição com o dado
.
Passo 6
Conclusão lógica e observação adicional (cuidado útil para a prova): a única forma de reconciliar um fluxo de campo magnético não nulo através de uma superfície fechada seria admitir que
não seja zero em algum ponto de
. Matematicamente isso ocorre se houver uma singularidade tipo carga pontual de “carga magnética” dentro de
, por exemplo
para um monopolo magnético de “carga”
em
; então
Mas isso significa que o campo não é um campo magnético no sentido das equações de Maxwell sem monopolos: existe uma fonte magnética dentro do volume. Em resumo: fluxo não nulo implica existência de monopolo magnético no interior; na ausência dessa hipótese, o campo não pode ser o campo magnético físico usual.
Resposta
Contradição: pela lei de Gauss para o magnetismo
implica
, mas o enunciado dá
; portanto
não pode ser um campo magnético (a menos que exista um monopolo magnético dentro de
).