Seja uma superfície fechada S contornando um volume V do espaço, mergulhado em um campo vetorial \mathbf{B} de tal forma que \oint_{\mathrm{S}} \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} \mathrm{dS}=\alpha, com \alpha \neq 0 e \mathbf{n} o vetor normal à superfície infinitesimal dS. Demonstre, matematicamente, que B não pode ser um campo magnético.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma demonstração. Informações dadas:
  • Há uma superfície fechada S que contorna um volume V.
  • Existe um campo vetorial \mathbf{B} mergulhando esse volume tal que
\oint_{S} \mathbf{B}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{dS}=\alpha,
com \alpha\neq 0. Aqui \mathbf{n} é o vetor normal exterior à superfície elementar \mathrm{dS}.
O que o enunciado pede:
  • Demonstrar, matematicamente, que \mathbf{B} não pode ser um campo magnético (isto é, não pode ser um campo que satisfaça as equações usuais do magnetismo).

Passo 2

Lembrete importante (teorema da divergência / Teorema de Gauss): para um campo vetorial suficientemente suave \mathbf{F} definido em um volume V com superfície fechada S, vale a identidade
\oint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{dS}=\int_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{F}\,\mathrm{dV}.
Explicação didática do que isso significa:
  • O lado esquerdo é o fluxo total de \mathbf{F} saindo por S.
  • O lado direito integra a divergência \nabla\!\cdot\!\mathbf{F} sobre todo o volume; a divergência em um ponto mede, intuitivamente, a taxa líquida de “saída” de fluxo por unidade de volume naquele ponto.
  • Uma derivação intuitiva: dividir V em muitos cubinhos, somar o fluxo das faces internas (que se cancelam em pares) e restarão só as faces da fronteira S; cada cubinho contribui aproximadamente (\nabla\!\cdot\!\mathbf{F})\,\Delta V; somando dá a integral de \nabla\!\cdot\!\mathbf{F}.

Passo 3

Aplicando o teorema da divergência ao campo \mathbf{B} e ao volume V do enunciado obtemos
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{dS}=\int_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}\,\mathrm{dV}.
Como no enunciado o lado esquerdo é \alpha, temos
\int_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}\,\mathrm{dV}=\alpha\neq 0.

Passo 4

Agora trago a lei fundamental do magnetismo usada na eletromagnetismo clássico (Lei de Gauss para o campo magnético / equação de Maxwell):
\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0
em todo ponto do espaço — isto expressa a ausência de monopólios magnéticos no eletromagnetismo clássico. Explicando: se \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0 em todo V, então a integral da divergência sobre V é zero:
\int_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}\,\mathrm{dV}=0.

Passo 5

Comparando as conclusões dos passos anteriores:
  • Pelo teorema da divergência aplicado a \mathbf{B} temos \int_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}\,\mathrm{dV}=\alpha\neq0.
  • Pela lei de Gauss para o magnetismo teríamos \int_{V}\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}\,\mathrm{dV}=0.
Essas duas afirmações são incompatíveis; portanto, assumir que \mathbf{B} é um campo magnético (no sentido das equações de Maxwell sem monopolos) leva a uma contradição com o dado \alpha\neq 0.

Passo 6

Conclusão lógica e observação adicional (cuidado útil para a prova): a única forma de reconciliar um fluxo de campo magnético não nulo através de uma superfície fechada seria admitir que \nabla\!\cdot\!\mathbf{B} não seja zero em algum ponto de V. Matematicamente isso ocorre se houver uma singularidade tipo carga pontual de “carga magnética” dentro de V, por exemplo
\nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=q_m\,\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)
para um monopolo magnético de “carga” q_m em \mathbf{r}_0; então
\oint_{S}\mathbf{B}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{dS}=q_m.
Mas isso significa que o campo não é um campo magnético no sentido das equações de Maxwell sem monopolos: existe uma fonte magnética dentro do volume. Em resumo: fluxo não nulo implica existência de monopolo magnético no interior; na ausência dessa hipótese, o campo não pode ser o campo magnético físico usual.

Resposta

Contradição: pela lei de Gauss para o magnetismo \nabla\!\cdot\!\mathbf{B}=0 implica \oint_{S}\mathbf{B}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{dS}=0, mas o enunciado dá \oint_{S}\mathbf{B}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{dS}=\alpha\neq0; portanto \mathbf{B} não pode ser um campo magnético (a menos que exista um monopolo magnético dentro de V).

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