Sendo c um número real, considere a função afim f(x)=2 x+c, definida para todo número real x.
Encontre todas as soluções da equação f(x)]^{3}=f\left(x^{3}\right)\, para \(c=1\).

Passo 1

O enunciado dá a função afim
f(x)=2x+c
definida para todo x\in\mathbb{R} e pede as soluções da equação
\bigl(f(x)\bigr)^{3}=f\bigl(x^{3}\bigr)
quando c=1. O conteúdo aqui é resolver uma equação polinomial, aplicando expansão e fatoração.

Passo 2

Substituindo c=1 na definição de f, temos
f(x)=2x+1.
Logo a equação fica
\bigl(2x+1\bigr)^{3}=f\bigl(x^{3}\bigr)=2x^{3}+1.

Passo 3

Vamos expandir o cubo no lado esquerdo e trazer tudo para um só lado:
(2x+1)^{3}=8x^{3}+12x^{2}+6x+1,
então
8x^{3}+12x^{2}+6x+1 \;=\;2x^{3}+1
implica
8x^{3}+12x^{2}+6x+1-2x^{3}-1=0
ou seja
6x^{3}+12x^{2}+6x=0.

Passo 4

Fatorando o polinômio em evidência, obtemos
6x^{3}+12x^{2}+6x = 6x\,(x^{2}+2x+1) =6x\,(x+1)^{2}.
Para essa expressão ser zero, basta 6x=0 ou (x+1)^{2}=0.

Passo 5

As soluções da equação são
x=0 \quad\text{e}\quad x=-1.
Note que x=-1 é raiz dupla, mas, como solução real, aparece apenas como o valor -1.

Resposta

As soluções são x=0 e x=-1.

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