Completando quadrados reescreva as funções abaixo na forma f(x)-\beta=a(x-\alpha)^{2} e esboce os gráficos.
f(x)=-x^{2}+4 x-1

Passo 1

O enunciado pede reescrever a função
f(x) = -x^{2} + 4x - 1
na forma canônica
f(x)-\beta = a\,(x-\alpha)^{2}
usando o método de completar quadrados. O conteúdo é funções quadráticas e vamos precisar dominar a técnica de “completar o quadrado” para obter vértice e eixo de simetria.

Passo 2

Primeiro fatoramos o coeficiente de x^{2}:
f(x) = -\bigl(x^{2} - 4x\bigr) - 1.

Passo 3

Dentro do parêntese, completamos o quadrado juntando x^{2}-4x com (x-2)^{2}. Como
x^{2} - 4x = \bigl(x^{2} - 4x + 4\bigr) - 4 = (x-2)^{2} - 4,
substituímos isso em f(x):
f(x) = -\bigl((x-2)^{2} - 4\bigr) - 1 = -(x-2)^{2} + 4 - 1 = -(x-2)^{2} + 3.

Passo 4

Comparando com f(x)-\beta = a\,(x-\alpha)^{2}, vemos que
a = -1,\quad \alpha = 2,\quad \beta = 3,
pois
f(x) - 3 = -1\cdot (x-2)^{2}.

Passo 5

Para esboçar o gráfico note que é uma parábola com concavidade para baixo a<0, vértice em (2,3), eixo de simetria x=2. As raízes vêm de
-(x-2)^{2} + 3 = 0 \;\Longrightarrow\;(x-2)^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x = 2\pm\sqrt{3},
e o intercepto em y é f(0)=-1.

Resposta

f(x) - 3 = -\,(x-2)^{2}.
O gráfico é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (2,3), eixo x=2, raízes em 2\pm\sqrt{3} e intercepto em y igual a -1.

Exercícios relacionados