Sendo c um número real, considere a função afim f(x)=2 x+c, definida para todo número real x.
Determine todos os valores de c para os quais a função g(x)=\log (x f(x)+c) esteja definida para todo número real x.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=2x+c
e
g(x)=\log\bigl(x\,f(x)+c\bigr).
O conteúdo aqui é domínio de logaritmo (dentro do log > 0) e análise de positividade de uma função quadrática.

Passo 2

Calculamos a expressão dentro do log:
x\,f(x)+c = x(2x+c)+c = 2x^2 + c x + c.

Passo 3

Para que g(x) esteja definido para todo x\in\mathbb{R}, precisamos de
2x^2 + c x + c > 0
para todo real x.

Passo 4

Como o coeficiente quadrático é a=2>0, a parábola será estritamente positiva em \mathbb{R} se, e somente se, o seu discriminante for negativo. Calculamos
\Delta = c^2 - 4\cdot2\cdot c = c^2 - 8c = c(c-8).
Logo, requeremos
\Delta < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad c(c-8)<0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<c<8.

Resposta

c\in(0,8)

Exercícios relacionados