Sendo C a parte do círculo de raio 1 acima do eixo x, determine o sinal da integral de linha das funções abaixo:
f(x, y)=\exp (x) y.

Passo 1

O enunciado diz que C é a parte do círculo de raio 1 acima do eixo x, isto é, o semicírculo definido por
x^2+y^2=1,\quad y\ge0.
Queremos determinar o sinal da integral de linha
\int_C f(x,y)\,ds,
onde
f(x,y)=\exp(x)\,y.
Para isso, vamos parametrizar C, estudar o sinal de f ao longo de C e lembrar que o elemento de arco ds é sempre positivo.

Passo 2

Uma parametrização natural para o semicírculo superior é
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,\pi].
Nesse caso, o elemento de comprimento de arco é
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}\,dt =\sqrt{\sin^2t+\cos^2t}\,dt =dt>0.

Passo 3

Substituindo na função, obtemos
f\bigl(\cos t,\sin t\bigr) =e^{\cos t}\,\sin t.
Para todo t\in(0,\pi) temos \sin t>0 e e^{\cos t}>0 (a exponencial nunca muda de sinal).
Portanto
f(\cos t,\sin t)>0 \quad\text{em todo o arco \(C\), exceto nos extremos onde \(\sin t=0\).}

Passo 4

Já que ds>0 e f>0 ao longo de C, o produto f\,ds é positivo para todo t\in(0,\pi). Logo
\int_C f(x,y)\,ds>0.

Resposta

A integral de linha é positiva.

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