Sendo
a parte do círculo de raio 1 acima do eixo
, determine o sinal da integral de linha das funções abaixo:
.
Passo 1
O enunciado diz que
é a parte do círculo de raio 1 acima do eixo
, isto é, o semicírculo definido por
Queremos determinar o sinal da integral de linha
onde
Para isso, vamos parametrizar
, estudar o sinal de
ao longo de
e lembrar que o elemento de arco
é sempre positivo.
Passo 2
Uma parametrização natural para o semicírculo superior é
Nesse caso, o elemento de comprimento de arco é
Passo 3
Substituindo na função, obtemos
Para todo
temos
e
(a exponencial nunca muda de sinal).
Portanto
Portanto
Passo 4
Já que
e
ao longo de
, o produto
é positivo para todo
. Logo
Resposta
A integral de linha é positiva.