Sendo C a parte do círculo de raio 1 acima do eixo x, determine o sinal da integral de linha das funções abaixo:
f(x, y)=x y.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C, que é o semicírculo de raio 1 acima do eixo x, e a função escalar
f(x,y)=x\,y.
Precisamos determinar o sinal de
\int_C f(x,y)\,ds.
Para isso, vamos parametrizar C e usar simetria para avaliar ou ao menos determinar o valor dessa integral de linha.

Passo 2

Parametrizamos C por
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,\pi].
Então
f(x,y)=\cos t\;\sin t,
e o elemento de comprimento é
ds=\bigl\lvert r'(t)\bigr\rvert\,dt =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}\,dt =dt.
Logo a integral vira
\int_C f\,ds =\int_{0}^{\pi}\cos t\;\sin t\;dt.

Passo 3

Observamos que
\cos t\;\sin t=\tfrac12\sin(2t)
é uma função que, ao integrar de 0 a \pi, anula-se pela simetria do seno em um período inteiro de \pi. Formalmente,
\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt=0 \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\pi}\cos t\;\sin t\,dt =\tfrac12\int_{0}^{\pi}\sin(2t)\,dt =0.

Resposta

A integral de linha é nula, ou seja, tem valor zero. Portanto, seu sinal é neutro (zero).

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