Sendo C a parte do círculo de raio 1 acima do eixo x, determine o sinal da integral de linha das funções abaixo:
f(x, y)=x^{2}.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que C é a parte do círculo de raio 1 acima do eixo x, ou seja
x^2 + y^2 = 1,\quad y\ge0.
Pede-se o sinal da integral de linha escalar de f(x,y)=x^2 sobre C. Para resolver, basta analisar o sinal de f em C e lembrar que o elemento de comprimento ds é sempre positivo.

Passo 2

A integral de linha escalar de f ao longo de C é
\int_C f(x,y)\,ds \;=\;\int_C x^2\,ds.

Passo 3

No semicírculo C temos -1\le x\le1, portanto
x^2\ge0
em todo ponto de C, e de fato x^2>0 na maior parte do caminho (só se anula nos extremos x=\pm1).

Passo 4

Como ds>0 e x^2\ge0 ao longo de C, o produto x^2\,ds é não negativo e não se anula completamente. Logo, a integral é estritamente positiva.

Resposta

A integral de linha é positiva.

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