Sendo z=f(u, v)=f(u(x, y), v(x, y)), calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no caso: z=\sqrt{5+u^{2}+3 v}, com u=x^{2}+y^{2} e v=2 x y ; para x=1 e y=-1
Passo 1
O enunciado dá as funções compostas e pede duas derivadas parciais no ponto (x,y)=(1,-1). Informações fornecidas:
z = \sqrt{5+u^{2}+3v},
u = x^{2}+y^{2},
v = 2xy.
Perguntas: calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} avaliadas em x=1,\;y=-1.
Passo 2
Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (a explicação técnica e intuitiva): quando z depende de (u,v) e u,v dependem de (x,y), a variação de z em relação a x (mantendo y fixo) vem das variações de u e de v em função de x. Formalmente,
Aqui \frac{\partial z}{\partial u} significa “derivar z tratando v como constante” e depois multiplicar pela taxa com que u muda com x ou y. Mesma ideia para \frac{\partial z}{\partial v}.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v. Seja
g(u,v)=5+u^{2}+3v,
então z=\sqrt{g} = g^{1/2}. Usando a regra da cadeia elemental para potências,
Explicando rápido: derivada de g^{1/2} é \tfrac{1}{2}g^{-1/2} multiplicada pela derivada interna (2u em relação a u, e 3 em relação a v).
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y. Para u=x^{2}+y^{2} usamos a regra da potência (derivada de x^{2} é 2x) e tratando y como constante quando necessário:
Agora montamos as expressões gerais das derivadas parciais de z em termos de x,y,u,v. Substituindo os resultados dos Passos 3 e 4 na regra da cadeia do Passo 2:
Agora calculamos numericamente \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no ponto, usando a forma da regra da cadeia:
Para \frac{\partial z}{\partial x}: