Sendo z=f(u, v)=f(u(x, y), v(x, y)), calcule \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no caso:
z=\sqrt{5+u^{2}+3 v}, com u=x^{2}+y^{2} e v=2 x y ; para x=1 e y=-1

Passo 1

O enunciado dá as funções compostas e pede duas derivadas parciais no ponto (x,y)=(1,-1). Informações fornecidas:
z = \sqrt{5+u^{2}+3v},
u = x^{2}+y^{2},
v = 2xy.
Perguntas: calcular \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} avaliadas em x=1,\;y=-1.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis (a explicação técnica e intuitiva): quando z depende de (u,v) e u,v dependem de (x,y), a variação de z em relação a x (mantendo y fixo) vem das variações de u e de v em função de x. Formalmente,
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.
Aqui \frac{\partial z}{\partial u} significa “derivar z tratando v como constante” e depois multiplicar pela taxa com que u muda com x ou y. Mesma ideia para \frac{\partial z}{\partial v}.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a u e v. Seja
g(u,v)=5+u^{2}+3v,
então z=\sqrt{g} = g^{1/2}. Usando a regra da cadeia elemental para potências,
\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{1}{2}g^{-1/2}\cdot 2u=\frac{u}{\sqrt{g}},
\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{1}{2}g^{-1/2}\cdot 3=\frac{3}{2\sqrt{g}}.
Explicando rápido: derivada de g^{1/2} é \tfrac{1}{2}g^{-1/2} multiplicada pela derivada interna ( 2u em relação a u, e 3 em relação a v).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v em relação a x e y. Para u=x^{2}+y^{2} usamos a regra da potência (derivada de x^{2} é 2x) e tratando y como constante quando necessário:
\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Para v=2xy (constante 2 vezes produto x y), derivando em relação a x trata-se de 2y (porque y é constante) e em relação a y 2x:
\frac{\partial v}{\partial x}=2y,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2x.

Passo 5

Agora montamos as expressões gerais das derivadas parciais de z em termos de x,y,u,v. Substituindo os resultados dos Passos 3 e 4 na regra da cadeia do Passo 2:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{u}{\sqrt{5+u^{2}+3v}}\cdot(2x)+\frac{3}{2\sqrt{5+u^{2}+3v}}\cdot(2y),
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{u}{\sqrt{5+u^{2}+3v}}\cdot(2y)+\frac{3}{2\sqrt{5+u^{2}+3v}}\cdot(2x).
Podemos simplificar os fatores 2 onde aparecerem:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2xu}{\sqrt{5+u^{2}+3v}}+\frac{3y}{\sqrt{5+u^{2}+3v}},
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2yu}{\sqrt{5+u^{2}+3v}}+\frac{3x}{\sqrt{5+u^{2}+3v}}.
(Expliquei: peguei \frac{3}{2\sqrt{\cdot}}\cdot 2y = \frac{3y}{\sqrt{\cdot}}.)

Passo 6

Agora avaliamos u e v no ponto pedido x=1,\;y=-1:
u(1,-1)=1^{2}+(-1)^{2}=1+1=2,
v(1,-1)=2\cdot 1\cdot(-1)=-2.

Passo 7

Calcular o termo dentro da raiz em \sqrt{5+u^{2}+3v} com esses valores:
5+u^{2}+3v=5+(2)^{2}+3\cdot(-2)=5+4-6=3.
Logo a raiz é \sqrt{3}. Usando isso, as derivadas parciais de z em relação a u e v no ponto ficam
\frac{\partial z}{\partial u}\Big|_{(1,-1)}=\frac{u}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},
\frac{\partial z}{\partial v}\Big|_{(1,-1)}=\frac{3}{2\sqrt{3}}.

Passo 8

Avaliar \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y} no ponto:
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(1,-1)}=2x\Big|_{(1,-1)}=2,
\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(1,-1)}=2y\Big|_{(1,-1)}=2\cdot(-1)=-2,
\frac{\partial v}{\partial x}\Big|_{(1,-1)}=2y\Big|_{(1,-1)}=2\cdot(-1)=-2,
\frac{\partial v}{\partial y}\Big|_{(1,-1)}=2x\Big|_{(1,-1)}=2.

Passo 9

Agora calculamos numericamente \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} no ponto, usando a forma da regra da cadeia:
Para \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(1,-1)}=\frac{\partial z}{\partial u}\Big|_{(1,-1)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(1,-1)}+\frac{\partial z}{\partial v}\Big|_{(1,-1)}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\Big|_{(1,-1)}
=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 2+\frac{3}{2\sqrt{3}}\cdot(-2)
=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Para \frac{\partial z}{\partial y}:
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{(1,-1)}=\frac{\partial z}{\partial u}\Big|_{(1,-1)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(1,-1)}+\frac{\partial z}{\partial v}\Big|_{(1,-1)}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\Big|_{(1,-1)}
=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot(-2)+\frac{3}{2\sqrt{3}}\cdot 2
=-\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{3}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(1,-1)=\frac{1}{\sqrt{3}}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}(1,-1)=-\frac{1}{\sqrt{3}}

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