Sendo y=y(x) e considerando as EDOs dos itens abaixo, determine seus pontos singulares e classifique-os como regulares ou irregulares.
\left(x^{2}+x-6\right) y^{\prime \prime}+(x+3) y^{\prime}+(x-2) y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
\bigl(x^{2}+x-6\bigr)\,y''+(x+3)\,y'+(x-2)\,y=0
e pede para achar os pontos singulares (onde o coeficiente de y'' se anula) e classificá-los como regulares ou irregulares. Para isso, vamos:
  1. identificar onde x^{2}+x-6=0;
  2. dividir a EDO por esse fator para ficar na forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0;
  1. usar o teste de Frobenius: em cada ponto singular x_{0} verificamos se (x-x_{0})P(x) e (x-x_{0})^{2}Q(x) são analíticos em x_{0}. Se sim, é singular regular; caso contrário, é irregular.

Passo 2

Encontramos os zeros de x^{2}+x-6 resolvendo
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)=0
logo os candidatos a pontos singulares são
x=-3 \quad\text{e}\quad x=2.

Passo 3

Dividindo a EDO original por x^{2}+x-6 obtemos a forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
com
P(x)=\frac{x+3}{(x+3)(x-2)}=\frac{1}{x-2}, \quad Q(x)=\frac{x-2}{(x+3)(x-2)}=\frac{1}{x+3}.

Passo 4

Aplicamos o teste de singularidade regular em cada x_{0}:
Para x_{0}=2: (x-2)P(x)=\frac{x-2}{x-2}=1, que é analítico em x=2. (x-2)^{2}Q(x)=\frac{(x-2)^{2}}{x+3}=(x-2)\frac{x-2}{x+3}=\frac{x-2}{x+3}, também analítico em x=2.
Logo x=2 é singular regular.
Para x_{0}=-3: (x+3)P(x)=(x+3)\frac{1}{x-2}=\frac{x+3}{x-2}, analítico em x=-3. (x+3)^{2}Q(x)=(x+3)^{2}\frac{1}{x+3}=x+3, analítico em x=-3.
Logo x=-3 é singular regular.

Resposta

Os pontos singulares são x=-3 e x=2, e ambos são pontos singulares regulares.

Exercícios relacionados