Sendo y=y(x) e considerando as EDOs dos itens abaixo, determine seus pontos singulares e classifique-os como regulares ou irregulares.
\left(x^{2}-9\right)^{2} y^{\prime \prime}+(x+3) y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os pontos singulares da EDO
(x^2 - 9)^2\,y'' + (x+3)\,y' + 2\,y = 0
e determine se cada um é regular ou irregular. Esse é um tópico de EDOs de segunda ordem com coeficientes singulares.

Passo 2

Para identificar os pontos singulares, primeiro colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0\,.
Dividindo tudo por (x^2-9)^2, obtemos
y'' + \frac{x+3}{(x^2-9)^2}\,y' + \frac{2}{(x^2-9)^2}\,y = 0
portanto
p(x) = \frac{x+3}{(x^2-9)^2}, \quad q(x) = \frac{2}{(x^2-9)^2}.

Passo 3

Os pontos singulares aparecem onde o coeficiente de y'' se anula, isto é (x^2-9)^2=0, logo
x = 3 \quad\text{e}\quad x = -3.
Para classificar um ponto x_0 como regular, precisamos que (x - x_0)\,p(x) e (x - x_0)^2\,q(x) sejam analíticos em x_0. Caso contrário, é irregular.

Passo 4

Em x_0 = 3:
(x-3)\,p(x) = \frac{1}{(x-3)\,(x+3)}, \quad (x-3)^2\,q(x) = \frac{2}{(x+3)^2}.
Note que (x-3)\,p(x) ainda tem polo em x=3, não sendo analítico. Logo x=3 é ponto singular irregular.

Passo 5

Em x_0 = -3:
(x+3)\,p(x) = \frac{1}{(x-3)^2}, \quad (x+3)^2\,q(x) = \frac{2}{(x-3)^2}.
Aqui ambas as funções são analíticas em x=-3. Portanto x=-3 é ponto singular regular.

Resposta

Os pontos singulares são
x = -3\\ (\text{regular}), \quad x = 3\\ (\text{irregular}).

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