Sendo y=y(x), use o exercício anterior para encontrar a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+3 y=2 x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^{2}y''-3x\,y'+3y = 2x^{4}e^{x},
que é uma equação de Cauchy–Euler não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Para a homogênea
x^{2}y''-3x\,y'+3y=0
usamos o ansatz y=x^{m}. Substituindo, obtemos a equação característica
m(m-1)-3m+3=0 \quad\Longrightarrow\quad m^{2}-4m+3=0 \quad\Longrightarrow\quad m=1,3.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\,x + C_{2}\,x^{3}.

Passo 3

Reescrevemos a EDO em forma padrão dividindo por x^{2}:
y'' - \frac{3}{x}y' + \frac{3}{x^{2}}y = 2x^{2}e^{x}.
Chamando g(x)=2x^{2}e^{x} e tendo as soluções fundamentais y_{1}=x, y_{2}=x^{3}, a fórmula de variação de parâmetros dá
y_{p} = -y_{1}(x)\,\int \frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx +y_{2}(x)\,\int \frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}\,dx,
onde o Wronskiano é
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[6pt] y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & x^{3}\\[3pt] 1 & 3x^{2} \end{vmatrix} =2x^{3}.
E g(x)=2x^{2}e^{x}.]

Passo 4

Calculamos os integrandos:
\frac{y_{2}g}{W} =\frac{x^{3}\cdot2x^{2}e^{x}}{2x^{3}}=x^{2}e^{x}, \qquad \frac{y_{1}g}{W} =\frac{x\cdot2x^{2}e^{x}}{2x^{3}}=e^{x}.
Então
\int x^{2}e^{x}\,dx =e^{x}(x^{2}-2x+2), \qquad \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Logo
y_{p} = -x\;e^{x}(x^{2}-2x+2) + x^{3}\;e^{x} = e^{x}\bigl(-x^{3}+2x^{2}-2x+x^{3}\bigr) =2x(x-1)e^{x}.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) =C_{1}x + C_{2}x^{3} + 2x(x-1)e^{x}.

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{3} + 2x(x-1)e^{x}.

Exercícios relacionados