Sendo dois números \mathrm{A}=2^{2} \times 3^{3} \times 5 e \mathrm{B}=2^{3} \times 3^{2} \times 11, o quociente da divisão do seu MMC pelo seu MDC será:
a) 5 \times 11
b) 2^{2} \times 3^{3}
c) 2 \times 3 \times 5 \times 11
d) 2^{2} \times 3^{2} \times 5 \times 11
e) 2^{2} \times 3 \times 5^{2} \times 11

Passo 1

O enunciado dá dois números fatorados e pede o quociente da divisão do MMC pelo MDC. As informações fornecidas são:
\mathrm{A}=2^{2}\times3^{3}\times5 (peguei esta expressão do enunciado)
\mathrm{B}=2^{3}\times3^{2}\times11 (peguei esta expressão do enunciado)
O que é pedido: calcular \dfrac{\mathrm{MMC}(\mathrm{A},\mathrm{B})}{\mathrm{MDC}(\mathrm{A},\mathrm{B})} e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro uma aula rápida (simples e prática) sobre como obter MDC e MMC a partir da fatoração em primos:
  • Se um número é escrito como produto de primos com expoentes, por exemplo n=\prod p_i^{\alpha_i}, então para dois números os expoentes relevantes são aqueles dos mesmos primos.
  • Regra do MDC (máximo divisor comum): para cada primo p, no MDC usamos o menor expoente entre os dois números. Em fórmula: para p comum, o expoente no MDC é \min(\text{expoente em A},\text{expoente em B}). Isso porque o MDC deve dividir ambos os números, então só podemos usar as potências que cabem em ambos.
  • Regra do MMC (mínimo múltiplo comum): para cada primo p, no MMC usamos o maior expoente entre os dois números. Em fórmula: expoente no MMC é \max(\text{expoente em A},\text{expoente em B}). Isso porque o MMC precisa ser múltiplo de ambos, então deve conter as potências suficientes para cobrir os dois.
Essas regras são fáceis de aplicar quando os números já vêm fatorados, como é o caso aqui.

Passo 3

Escrever claramente os expoentes de cada primo para \mathrm{A} e \mathrm{B} (isto vem do enunciado):
\mathrm{A}=2^{2}\times3^{3}\times5^{1}
\mathrm{B}=2^{3}\times3^{2}\times11^{1}
Para cada primo relevante (2, 3, 5, 11) temos os expoentes:
  • Primo 2: expoente em \mathrm{A} é 2, em \mathrm{B} é 3.
  • Primo 3: expoente em \mathrm{A} é 3, em \mathrm{B} é 2.
  • Primo 5: expoente em \mathrm{A} é 1, em \mathrm{B} é 0 (porque não aparece).
  • Primo 11: expoente em \mathrm{A} é 0, em \mathrm{B} é 1.

Passo 4

Calcular o \mathrm{MDC}(\mathrm{A},\mathrm{B}) usando mínimos dos expoentes:
\mathrm{MDC}(\mathrm{A},\mathrm{B})=2^{\min(2,3)}\times3^{\min(3,2)}\times5^{\min(1,0)}\times11^{\min(0,1)}.
Agora avalio os mínimos:
\min(2,3)=2, \min(3,2)=2, \min(1,0)=0, \min(0,1)=0. Logo
\mathrm{MDC}(\mathrm{A},\mathrm{B})=2^{2}\times3^{2}\times5^{0}\times11^{0}=2^{2}\times3^{2}.
(Observação didática: 5^{0}=1 e 11^{0}=1, por isso esses primos não entram no MDC.)

Passo 5

Calcular o \mathrm{MMC}(\mathrm{A},\mathrm{B}) usando máximos dos expoentes:
\mathrm{MMC}(\mathrm{A},\mathrm{B})=2^{\max(2,3)}\times3^{\max(3,2)}\times5^{\max(1,0)}\times11^{\max(0,1)}.
Agora os máximos:
\max(2,3)=3, \max(3,2)=3, \max(1,0)=1, \max(0,1)=1. Logo
\mathrm{MMC}(\mathrm{A},\mathrm{B})=2^{3}\times3^{3}\times5^{1}\times11^{1}=2^{3}\times3^{3}\times5\times11.

Passo 6

Agora o quociente pedido: dividir o MMC pelo MDC.
\frac{\mathrm{MMC}}{\mathrm{MDC}}=\frac{2^{3}\times3^{3}\times5\times11}{2^{2}\times3^{2}}.
Aplicando a regra de divisão de potências com mesma base (subtraindo expoentes):
\frac{\mathrm{MMC}}{\mathrm{MDC}}=2^{3-2}\times3^{3-2}\times5\times11=2^{1}\times3^{1}\times5\times11.
Ou seja,
\frac{\mathrm{MMC}}{\mathrm{MDC}}=2\times3\times5\times11.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde exatamente é a alternativa (c).

Resposta

c) 2 \times 3 \times 5 \times 11

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