Sendo a equação diferencial
\frac{d y}{d t}=-\frac{1}{2} y+t
e considerando que y(t=0)=1, resolva numericamente esse Problema de Valor Inicial para encontrar o valor de y em t=0.2. Utilize h=0.1, e aplique o método de Runge-Kutta
\left\{\begin{aligned} y_{n+1} & =y_{n}+\frac{h}{2}\left(\kappa_{1}+\kappa_{2}\right) \\\ \kappa_{1} & =f\left(t_{n}, y_{n}\right) \\\ \kappa_{2} & =f\left(t_{n}+h, y_{n}+h \kappa_{1}\right) \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o Problema de Valor Inicial
\frac{dy}{dt} = -\frac12\,y + t,
com condição y(0)=1, e encontrar y em t=0,2 usando o método de Runge–Kutta de ordem 2 (Heun) com passo h=0,1. Precisaremos aplicar duas iterações do esquema
\begin{aligned} y_{n+1} &= y_n + \frac{h}{2}\bigl(\kappa_1 + \kappa_2\bigr),\\\ \kappa_1 &= f(t_n,y_n),\\\ \kappa_2 &= f\bigl(t_n+h,\;y_n+h\,\kappa_1\bigr), \end{aligned}
onde f(t,y)=-\tfrac12\,y+t.

Passo 2

Definimos
f(t,y) = -\frac12\,y + t.
Inicialmente t_0=0, y_0=1. Em cada passo calculamos primeiro \kappa_1 = f(t_n,y_n), depois o valor preliminar \tilde y = y_n + h\,\kappa_1 em t_n+h, e então \kappa_2 = f(t_n+h,\tilde y). Por fim
y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}\bigl(\kappa_1+\kappa_2\bigr).

Passo 3

Primeira iteração n=0, de t_0=0 a t_1=0,1: \kappa_1 = f(0,1) = -\tfrac12\cdot1 + 0 = -0,5. \tilde y = 1 + 0,1\cdot(-0,5) = 0,95. \kappa_2 = f(0,1,\;0,95) = -\tfrac12\cdot0,95 + 0,1 = -0,475 + 0,1 = -0,375.
Logo
y_1 = 1 + \frac{0,1}{2}\bigl(-0,5 + (-0,375)\bigr) = 1 + 0,05\cdot(-0,875) = 1 - 0,04375 = 0,95625.

Passo 4

Segunda iteração n=1, de t_1=0,1 a t_2=0,2: \kappa_1 = f(0,1,\;0,95625) = -\tfrac12\cdot0,95625 + 0,1 = -0,478125 + 0,1 = -0,378125. \tilde y = 0,95625 + 0,1\cdot(-0,378125) = 0,9184375. \kappa_2 = f(0,2,\;0,9184375) = -\tfrac12\cdot0,9184375 + 0,2 = -0,45921875 + 0,2 = -0,25921875.
Portanto
y_2 = 0,95625 + \frac{0,1}{2}\bigl(-0,378125 + (-0,25921875)\bigr) = 0,95625 + 0,05\cdot(-0,63734375) = 0,95625 - 0,0318671875 = 0,9243828125.

Resposta

O valor aproximado de y em t=0,2 é
y(0,2)\approx 0,92438.

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