Considere dados experimentais de velocidade para um escoamento entre duas placas planas separadas por uma distância de duas unidades.
y -1 -0.75 -0.5 0 0.5 0.75 1
v(y) 0 0.1 0.3 0.5 1.0 1.2 1.5
Para o conjunto de dados, estime a vazão Q por unidade de comprimento, onde
Q=\int_{-1}^{1} v(y) d y
Utilize métodos de 1 / 3 de Simpson, de forma a tentar minimizar o erro cometído.
Simpson 1 / 3 (simples): \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right], h=(b-a) / 2
Simpson 1 / 3 (composto): Particionando [a, b] em n=2 N subintervalos de largura h=\frac{b-a}{2 N}, x_{i}=a+i h,
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 \sum_{j=1}^{N} f\left(x_{2 j-1}\right)+2 \sum_{j=1}^{N-1} f\left(x_{2 j}\right)+f\left(x_{2 N}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede a estimativa da vazão por unidade de comprimento
Q=\int_{-1}^{1}v(y)\,dy
usando o método de Simpson 1/3 composto. Temos dados de v(y) em pontos não uniformemente espaçados de modo global, mas podemos agrupar em subintervalos igualmente espaçados de largura 0,5 para aplicar Simpson simples em cada um.

Passo 2

Observando os pontos, dividimos [-1,1] em três subintervalos de comprimento 0,5: -1 a -0,5, \quad -0,5 a 0,5, \quad 0,5 a 1.
Em cada subintervalo usaremos Simpson simples com dois subintervalos internos (três nós), isto é,
\int_{a}^{b}v(y)\,dy\approx\frac{h}{3}\bigl[v(a)+4v\bigl(\tfrac{a+b}{2}\bigr)+v(b)\bigr],
onde h=(b-a)/2.

Passo 3

No intervalo [-1,-0.5]: h_1=(\\ -0.5-(-1))/2=0,25,
I_1\approx\frac{0,25}{3}\bigl[v(-1)+4v(-0.75)+v(-0.5)\bigr] =\frac{0,25}{3}\bigl[0+4(0.1)+0.3\bigr] =\frac{0,25}{3}\cdot0.7 \approx0.05833.

Passo 4

No intervalo [-0.5,0.5]: h_2=(0.5-(-0.5))/2=0.5,
I_2\approx\frac{0.5}{3}\bigl[v(-0.5)+4v(0)+v(0.5)\bigr] =\frac{0.5}{3}\bigl[0.3+4(0.5)+1.0\bigr] =\frac{0.5}{3}\cdot3.3 \approx0.55.

Passo 5

No intervalo [0.5,1]: h_3=(1-0.5)/2=0.25,
I_3\approx\frac{0.25}{3}\bigl[v(0.5)+4v(0.75)+v(1)\bigr] =\frac{0.25}{3}\bigl[1.0+4(1.2)+1.5\bigr] =\frac{0.25}{3}\cdot7.3 \approx0.60833.

Passo 6

Somamos as três contribuições para obter Q:
Q\approx I_1 + I_2 + I_3 \approx0.05833 + 0.55 + 0.60833 \approx1.21666.

Resposta

A estimativa pela regra composta de Simpson é
Q \approx 1.22.

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