Considere dados experimentais de velocidade para um escoamento entre duas placas planas separadas por uma distância de duas unidades.
y -1 -0.75 -0.5 0 0.5 0.75 1
v(y) 0 0.1 0.3 0.5 1.0 1.2 1.5
Para o conjunto de dados, estime a vazão Q por unidade de comprimento, onde
Q=\int_{-1}^{1} v(y) d y
Utilize métodos de 1 / 3 de Simpson, de forma a tentar minimizar o erro cometido.
Simpson 1 / 3 (simples): \int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f(a)+4 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right], h=(b-a) / 2
Simpson 1 / 3 (composto): Particionando [a, b] em n=2 N subintervalos de largura h=\frac{b-a}{2 N}, x_{1}=a+i h,
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 \sum_{j=1}^{N} f\left(x_{2 j-1}\right)+2 \sum_{j=1}^{N-1} f\left(x_{2 j}\right)+f\left(x_{2 N}\right)\right].

Passo 1

Resumindo, temos dados de velocidade v(y) em sete pontos de y\in[-1,1]. Queremos estimar
Q = \int_{-1}^{1} v(y)\,dy
usando a regra de Simpson /3. Como os pontos não são igualmente espaçados em todo o intervalo, vamos particionar [-1,1] em três subintervalos de dois subintervalos iguais cada:
[-1,-0.5],\quad[-0.5,0.5],\quad[0.5,1],
para aplicar a fórmula de Simpson simples em cada um.

Passo 2

No intervalo [-1,-0.5] temos h=(b-a)/2 = (-0.5 -(-1))/2 = 0.25. Aplique Simpson simples:
I_1 = \frac{h}{3}\bigl[v(-1) + 4\,v(-0.75) + v(-0.5)\bigr] = \frac{0.25}{3}\bigl[0 + 4\cdot0.1 + 0.3\bigr] = \frac{0.25}{3}\cdot0.7 \approx 0.05833.

Passo 3

No intervalo [-0.5,0.5] temos h=(0.5-(-0.5))/2=0.5. Aplique Simpson simples:
I_2 = \frac{h}{3}\bigl[v(-0.5) + 4\,v(0) + v(0.5)\bigr] = \frac{0.5}{3}\bigl[0.3 + 4\cdot0.5 + 1.0\bigr] = \frac{0.5}{3}\cdot3.3 = 0.55.

Passo 4

No intervalo [0.5,1] temos h=(1-0.5)/2=0.25. Aplique Simpson simples:
I_3 = \frac{h}{3}\bigl[v(0.5) + 4\,v(0.75) + v(1)\bigr] = \frac{0.25}{3}\bigl[1.0 + 4\cdot1.2 + 1.5\bigr] = \frac{0.25}{3}\cdot7.3 \approx 0.60833.

Passo 5

Somando as três parcelas obtemos a estimativa para Q:
Q \approx I_1 + I_2 + I_3 \approx 0.05833 + 0.55 + 0.60833 = 1.21667.

Resposta

A vazão por unidade de comprimento é aproximadamente Q \approx 1.217.

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