Sendo F, G e H \in L\left(R^{2}\right) definidos por F(x, y)=(x, 2 y), G(x, y)=(y, x+y) \quad e H(x, y)=(0, x), determinar : Ker, Im , uma base e a dimensão e a transformação linear inversa ( se existir ) das seguintes transformações .
F(x, y)=(x, 2 y)

Passo 1

O enunciado pede para a transformação linear
F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad F(x,y) = (x,2y)
determinar o núcleo \ker(F), a imagem \mathrm{Im}(F), uma base e a dimensão de cada um, e a transformação inversa F^{-1} caso exista. Vamos usar a representação matricial de F na base canônica e conceitos de núcleo, imagem e invertibilidade.

Passo 2

Para achar \ker(F)\) resolvemos \[F(x,y) = (0,0) \quad\Longleftrightarrow\quad (x,2y) = (0,0)
Isso dá o sistema
\begin{cases} x = 0,\\\\ 2y = 0, \end{cases}
logo x=0\] e \(y=0. Portanto
\ker(F) = \{(0,0)\}.
Uma base para o núcleo é o conjunto vazio (pois só contém o vetor zero) e
\dim\bigl(\ker(F)\bigr)=0.

Passo 3

A matriz de F na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix},
cuja imagem é o espaço gerado por suas colunas (1,0) e (0,2). Como essas duas colunas são linearmente independentes, temos
\mathrm{Im}(F) = \operatorname{span}\{(1,0),(0,2)\} = \mathbb{R}^2.
Uma base de \mathrm{Im}(F) é \{(1,0),(0,2)\} e
\dim\bigl(\mathrm{Im}(F)\bigr)=2.

Passo 4

Como \dim(\ker(F))=0 e \dim(\mathrm{Im}(F))=2=\dim(\mathbb{R}^2), a transformação F é bijetora e, portanto, invertível. Para encontrar F^{-1}, basta resolver
F(x,y) = (u,v)\quad\Longleftrightarrow\quad (x,2y)=(u,v),
de onde x=u e y=v/2. Logo
F^{-1}(u,v) = (u,\tfrac{v}{2}).

Resposta

Ker (F)=\{(0,0)\}
base de Ker (F): \emptyset \dim(\ker(F))=0
Im (F)=\mathbb{R}^2
base de Im (F): \{(1,0),(0,2)\} \dim(\mathrm{Im}(F))=2 F^{-1}(x,y) = \bigl(x,\tfrac{y}{2}\bigr)

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