Sejam F, G \in L\left(R^{3}, R^{2}\right) definidas por F(x, y, z)=(0,2 x) e G(x, y, z)=(x-y, x) e H \in L\left(R^{2}\right) dado por H(x, y)=(x+y, x-y). Determinar :
3°) a) F+H
b) Fo G
c) G o(F+H)

Passo 1

O enunciado dá
  • F,G\in L(\mathbb R^3,\mathbb R^2) com
F(x,y,z)=(0,2x),\quad G(x,y,z)=(x-y,x),
  • H\in L(\mathbb R^2,\mathbb R^2) com
H(u,v)=(u+v,\;u-v).
Para somar ou compor operadores precisamos que domínios e contradomínios coincidam apropriadamente.

Passo 2

Querem F+H.
– Mas F é \mathbb R^3\to\mathbb R^2 e H é \mathbb R^2\to\mathbb R^2.
– Como não têm o mesmo domínio, a soma F+H não está definida.

Passo 3

Querem F\circ G.
G\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^2, mas F espera entrada em \mathbb R^3.
– Logo F\circ G também não está definida (domínio de F \neq contradomínio de G).

Passo 4

Querem G\circ(F+H).
– Primeiro, F+H não existe (veja passo 2),
– mesmo que existisse, seu contradomínio seria \mathbb R^2 e G espera \mathbb R^3.
– Logo G\circ(F+H) também não está definida.

Resposta

Nenhuma das três operações pedidas é bem-definida, devido a incompatibilidades de domínio e contradomínio.

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