Verificar quais das aplicações de R^{2} em R^{2} são operadores lineares.
a) F(x, y)=(2 x+3 y, 4 x-5 y)
b) F(x, y)=(2 x, x-y)
c) F(x, y)=(3 y, 0\}
d) F(x, y)=(0, x-y)
e) F(x, y)=(x+1, y+1)
f) F(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, 0\right)

Passo 1

O enunciado dá seis aplicações F\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 e pede para verificar quais são operadores lineares. Uma aplicação F é linear se, para todo u,v\in\mathbb{R}^2 e todo escalar \alpha, valem
F(u+v)=F(u)+F(v),
F(\alpha u)=\alpha\,F(u).
Equivalentemente, F deve enviar (0,0) em (0,0) e não pode conter termos constantes ou não lineares.

Passo 2

Para
F(x,y)=(2x+3y,\;4x-5y),
ambas as componentes são combinações lineares homogêneas de x e y. Além disso, F(0,0)=(0,0). Logo, F é dada pela matriz
\begin{pmatrix}2&3\\\ 4&-5\end{pmatrix}
e satisfaz aditividade e homogeneidade. Portanto, o item (a) é linear.

Passo 3

Para
F(x,y)=(2x,\;x-y),
novamente temos somente combinações lineares sem termo constante e F(0,0)=(0,0). A matriz associada é
\begin{pmatrix}2&0\\\ 1&-1\end{pmatrix},
de modo que F satisfaz as propriedades de operador linear. Assim, (b) é linear.

Passo 4

Para
F(x,y)=(3y,\;0) \quad\text{e}\quad F(x,y)=(0,\;x-y),
ambas as aplicações não têm termo constante e cada componente é uma combinação linear de x e y. Em particular F(0,0)=(0,0) em ambos os casos. Logo, (c) e (d) são lineares.

Passo 5

Em
F(x,y)=(x+1,\;y+1),
temos F(0,0)=(1,1)\neq(0,0), o que já viola a homogeneidade. Portanto, (e) não é linear.

Passo 6

Em
F(x,y)=(x^2+y^2,\;0),
a presença de x^2+y^2 impede tanto a aditividade quanto a homogeneidade (por exemplo, F(2x,2y)=4(x^2+y^2)\neq2F(x,y)). Logo, (f) não é linear.

Resposta

As aplicações lineares são os itens (a), (b), (c) e (d).

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