Verificar quais das aplicações de
em
são operadores lineares.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado dá seis aplicações
e pede para verificar quais são operadores lineares. Uma aplicação
é linear se, para todo
e todo escalar
, valem
Equivalentemente,
deve enviar
em
e não pode conter termos constantes ou não lineares.
Passo 2
Para
ambas as componentes são combinações lineares homogêneas de
e
. Além disso,
. Logo,
é dada pela matriz
e satisfaz aditividade e homogeneidade. Portanto, o item (a) é linear.
Passo 3
Para
novamente temos somente combinações lineares sem termo constante e
. A matriz associada é
de modo que
satisfaz as propriedades de operador linear. Assim, (b) é linear.
Passo 4
Para
ambas as aplicações não têm termo constante e cada componente é uma combinação linear de
e
. Em particular
em ambos os casos. Logo, (c) e (d) são lineares.
Passo 5
Em
temos
, o que já viola a homogeneidade. Portanto, (e) não é linear.
Passo 6
Em
a presença de
impede tanto a aditividade quanto a homogeneidade (por exemplo,
). Logo, (f) não é linear.
Resposta
As aplicações lineares são os itens (a), (b), (c) e (d).