Sendo f(x)=(x^2+1)^cos x, determine f^prime(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = l(x^2+1r)^cos x
e pede sua derivada f'(x). Como a base e o expoente dependem de x, o caminho mais direto é usar derivação logarítmica.

Passo 2

Definimos y = f(x) e tomamos logaritmo dos dois lados, obtendo
ln y = cos x ,lnl(x^2+1r)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem
ddx(ln y) = y'y,
e no direito usamos a regra do produto e a cadeia:
ddxl[cos x;ln(x^2+1)r] = -sin x;lnl(x^2+1r) ;+;cos x;2xx^2+1
Logo,
y'y = -sin x;lnl(x^2+1r) ;+;cos x;2xx^2+1

Passo 4

Isolando y' e lembrando que y=f(x), temos
y' = y;l[-sin x;lnl(x^2+1r) +;cos x;2xx^2+1r] = l(x^2+1r)^cos x l[-sin x;lnl(x^2+1r) +;2xcos xx^2+1r]

Resposta

f'(x) = l(x^2+1r)^cos x l(-sin x;lnl(x^2+1r) +2xcos xx^2+1r)

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