Calcule os limites caso existam
lim (x, y) (0,0) x^3x^3+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis em torno de (0,0):
lim(x,y)to(0,0) x^3x^3+y^2
Para verificar se esse limite existe, vamos usar o método de trajetórias: escolher caminhos diferentes para chegar a (0,0) e checar se o valor da expressão é sempre o mesmo.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Substituindo em x^3x^3+y^2 temos
x^3x^3+0^2 = x^3x^3 = 1 (xneq0)
Logo,
lim(x,0)to(0,0) x^3x^3+y^2 = 1

Passo 3

Considere agora a trajetória x=0. Substituindo em x^3x^3+y^2 obtemos
0^30^3+y^2 = 0
Portanto,
lim(0,y)to(0,0) x^3x^3+y^2 = 0

Passo 4

Como pelas trajetórias y=0 e x=0 obtemos limites diferentes (1 e 0), o limite em duas variáveis não é único.

Resposta

O limite não existe.

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