Seja f(x)=|x| raiz|x|. Determine
lim x 0 f(x)x e lim x 1(f(x)x-1-1x-1)
e decida se existem f^prime(0) e f^prime(1).
Temos
lim x 0 f(x)x=lim x 0 |x| raiz|x|x
Analisamos os limites laterais.
(0,5)
lim x 0^+ |x| raiz|x|x=lim x 0^+ x raizxx=lim x 0^+ raizx=0
(0,5)
lim x 0^- |x| raiz|x|x=lim x 0^- -x raiz-xx=lim x 0^--raiz-x=0
Portanto, lim x 0 f(x)x=0.
Temos
(0,75)
lim x 1(f(x)x-1-1x-1)= & =lim x 1 |x| raiz|x|-1x-1 & =lim x 1 x raizx-1x-1 ; x>0 & =lim x 1 raizx^3-1x-1 & =lim x 1 x^3-1(x-1)(raizx^3+1) ; conjugado & =lim x 1 (x-1)(x^2+x+1)(x-1)(raizx^3+1) ; dividindo x^3-1 por x-1 & =lim x 1 x^2+x+1raizx^3+1 & =32
Finalmente, note:
f^prime(0)=lim x 0 f(x)-f(0)x-0=lim x 0 f(x)x=0
e
f^prime(1)=lim x 1 f(x)-f(1)x-1=lim x 1(f(x)x-1-1x-1)=32

Passo 1

O enunciado define
f(x)=|x|raiz|x| = |x|^3/2
e pede
  • limxto0f(x)x,
  • limxto1l(f(x)x-1-1x-1r),
    e ainda verificar se f'(0) e f'(1) existem.
    O conteúdo utilizado será análise de limites laterais e definição de derivada pela diferença de quocientes.

Passo 2

Para limxto0f(x)x escrevemos
f(x)x = |x|raiz|x|x
Se x>0, isso é raizx; se x<0, é -raiz-x. Em ambos os casos, ao xto0 tende a 0. Logo
limxto0f(x)x = 0

Passo 3

Pela definição de derivada em 0:
f'(0) = limxto0f(x)-f(0)x-0 = limxto0f(x)x = 0
Logo f'(0)=0 existe.

Passo 4

Para limxto1l(f(x)x-1-1x-1r) juntamos as frações:
f(x)x-1-1x-1 = f(x)-1x-1
Como perto de x=1 temos x>0, substituímos f(x)=x^3/2 e obtemos
limxto1x^3/2-1x-1

Passo 5

Fatoramos x^3/2-1 usando o “conjugado”:
x^3/2-1 = x^3-1x^3/2+1 = (x-1)(x^2+x+1)x^3/2+1
Assim
x^3/2-1x-1 = x^2+x+1x^3/2+1,
e avaliando em x=1:
1^2+1+11^3/2+1 = 32
Logo esse limite vale tfrac32.

Passo 6

Pela definição de derivada em 1:
f'(1) = limxto1f(x)-f(1)x-1 = limxto1f(x)-1x-1 = 32
Portanto f'(1)=tfrac32 existe.

Resposta

limxto0f(x)x=0
limxto1l(f(x)x-1-1x-1r)=32
f'(0)=0 existe
f'(1)=32 existe

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