Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=(x+1)^3(x-2)^2;

Passo 1

Vamos estudar a função f(x) = (x+1)^3 (x-2)^2, que é um polinômio de grau 5. Para isso vamos usar derivadas (f′ e f′′) para achar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidade, e observar que, por ser polinômio, não há assíntotas.

Passo 2

Como f(x) é polinômio de grau 5, não existem assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada usando produto e potência:
f'(x)=3(x+1)^2cdot(x-2)^2+2(x+1)^3cdot(x-2)
Fatorando, obtemos
f'(x)=(x+1)^2(x-2)(5x-4)

Passo 4

Os pontos críticos vêm de f′(x)=0, isto é,
(x+1)^2=0implies x=-1, x-2=0implies x=2, 5x-4=0implies x=tfrac45

Passo 5

Para classificar crescimento/decrescimento, estudamos o sinal de f′(x):
  • Para x<4/5: f′>0 (ainda que em x=-1 a derivada zere, não há troca de sinal).
  • Para 4/5<x<2: f′<0.
  • Para x>2: f′>0.
    Portanto f cresce em (-∞,4/5), decresce em (4/5,2) e cresce em (2,∞). Em x=4/5 há máximo local e em x=2 mínimo local. Em x=-1 há ponto crítico sem mudança de monotonia.

Passo 6

Calculamos a segunda derivada expandindo f′(x)=5x4−4x3−15x^2+2x+8:
f''(x)=20x^3-12x^2-30x+2
Resolvendo f″(x)=0 encontramos três raízes:
x=-1, x=8-3raiz610approx0,0652, x=8+3raiz610approx1,5348

Passo 7

Para concavidade, checamos o sinal de f″:
  • (-∞, -1): f″<0 (concavidade para baixo).
  • (-1, 0{,}0652): f″>0 (para cima).
  • (0{,}0652,1{,}5348): f″<0.
  • (1{,}5348,∞): f″>0.
    Assim, ocorrem pontos de inflexão em x=-1, x≈0,0652, x≈1,5348.

Passo 8

Reunindo tudo:
  • Nenhuma assíntota.
  • Pontos críticos: x=-1 (f(-1)=0, ponto de inflexão estacionário), x=4/5 (máximo local em (0{,}8,≈8{,}4)), x=2 (mínimo local em (2,0)).
  • Pontos de inflexão: (-1,0), (≈0{,}0652,≈4{,}52), (≈1{,}5348,≈3{,}53).
  • Crescimento: (-∞,4/5) ∪ (2,∞), Decrescimento: (4/5,2).
  • Concavidade para baixo em (-∞,-1)∪(0{,}0652,1{,}5348), para cima em (-1,0{,}0652)∪(1{,}5348,∞).
    Com esses dados esboçamos o gráfico levando em conta que em x=-1 a curva corta o eixo x com inflexão (multiplicidade 3) e em x=2 toca o eixo x (multiplicidade 2).

Resposta

Assíntotas: nenhuma.
Pontos críticos e classificação:
• x=-1, f(-1)=0 → ponto crítico estacionário (sem extremo), ponto de inflexão.
• x=4/5, f(4/5)=≈8,4 → máximo local.
• x=2, f(2)=0 → mínimo local.
Pontos de inflexão:
(-1,0), (≈0,0652,≈4,52), (≈1,5348,≈3,53).
Monotonia:
Cresce em (-∞,4/5) e (2,∞), decresce em (4/5,2).
Concavidade:
Côncava para baixo em (-∞,-1)∪(0,0652,1,5348), côncava para cima em (-1,0,0652)∪(1,5348,∞).
Gráfico: curva de grau 5 sem assíntotas, com inflexão em x=-1 e toque em x=2.

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