Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
Vamos estudar a função f(x) = (x+1)^3 (x-2)^2, que é um polinômio de grau 5. Para isso vamos usar derivadas (f′ e f′′) para achar pontos críticos, intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de inflexão, concavidade, e observar que, por ser polinômio, não há assíntotas.
Passo 2
Como f(x) é polinômio de grau 5, não existem assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas.
Passo 3
Calculamos a primeira derivada usando produto e potência:
Fatorando, obtemos
Passo 4
Os pontos críticos vêm de f′(x)=0, isto é,
Passo 5
Para classificar crescimento/decrescimento, estudamos o sinal de f′(x):
- Para x<4/5: f′>0 (ainda que em x=-1 a derivada zere, não há troca de sinal).
- Para 4/5<x<2: f′<0.
- Para x>2: f′>0.
Portanto f cresce em (-∞,4/5), decresce em (4/5,2) e cresce em (2,∞). Em x=4/5 há máximo local e em x=2 mínimo local. Em x=-1 há ponto crítico sem mudança de monotonia.
Passo 6
Calculamos a segunda derivada expandindo f′(x)=5x4−4x3−15x^2+2x+8:
Resolvendo f″(x)=0 encontramos três raízes:
Passo 7
Para concavidade, checamos o sinal de f″:
- (-∞, -1): f″<0 (concavidade para baixo).
- (-1, 0{,}0652): f″>0 (para cima).
- (0{,}0652,1{,}5348): f″<0.
- (1{,}5348,∞): f″>0.
Assim, ocorrem pontos de inflexão em x=-1, x≈0,0652, x≈1,5348.
Passo 8
Reunindo tudo:
- Nenhuma assíntota.
- Pontos críticos: x=-1 (f(-1)=0, ponto de inflexão estacionário), x=4/5 (máximo local em (0{,}8,≈8{,}4)), x=2 (mínimo local em (2,0)).
- Pontos de inflexão: (-1,0), (≈0{,}0652,≈4{,}52), (≈1{,}5348,≈3{,}53).
- Crescimento: (-∞,4/5) ∪ (2,∞), Decrescimento: (4/5,2).
- Concavidade para baixo em (-∞,-1)∪(0{,}0652,1{,}5348), para cima em (-1,0{,}0652)∪(1{,}5348,∞).
Com esses dados esboçamos o gráfico levando em conta que em x=-1 a curva corta o eixo x com inflexão (multiplicidade 3) e em x=2 toca o eixo x (multiplicidade 2).
Resposta
Assíntotas: nenhuma.
Pontos críticos e classificação:
• x=-1, f(-1)=0 → ponto crítico estacionário (sem extremo), ponto de inflexão.
• x=4/5, f(4/5)=≈8,4 → máximo local.
• x=2, f(2)=0 → mínimo local.
• x=-1, f(-1)=0 → ponto crítico estacionário (sem extremo), ponto de inflexão.
• x=4/5, f(4/5)=≈8,4 → máximo local.
• x=2, f(2)=0 → mínimo local.
Pontos de inflexão:
(-1,0), (≈0,0652,≈4,52), (≈1,5348,≈3,53).
(-1,0), (≈0,0652,≈4,52), (≈1,5348,≈3,53).
Monotonia:
Cresce em (-∞,4/5) e (2,∞), decresce em (4/5,2).
Cresce em (-∞,4/5) e (2,∞), decresce em (4/5,2).
Concavidade:
Côncava para baixo em (-∞,-1)∪(0,0652,1,5348), côncava para cima em (-1,0,0652)∪(1,5348,∞).
Côncava para baixo em (-∞,-1)∪(0,0652,1,5348), côncava para cima em (-1,0,0652)∪(1,5348,∞).
Gráfico: curva de grau 5 sem assíntotas, com inflexão em x=-1 e toque em x=2.