Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
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Passo 1
Temos a função
. Vamos estudar assíntotas, domínio, derivadas para crescimento e concavidade e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, o domínio é dado por
, ou seja
. Isso já indica possíveis assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Para a assíntota horizontal, comparamos os graus de numerador e denominador. Ambos são de grau 2, então há assíntota horizontal em
razão dos coeficientes dos termos
, isto é,
.
Passo 4
A derivada primeira é
O numerador
tem discriminante negativo, logo é sempre positivo. O denominador é sempre positivo (quadrado). Logo
para todo
no domínio: a função é estritamente crescente em cada intervalo. Não há pontos críticos internos (
não ocorre), apenas descontinuidade em
.
Passo 5
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
O numerador define um polinômio cúbico que zera aproximadamente em
. Estudando o sinal de
em cada intervalo, obtemos:
(-∞, -√2): concava para cima;
(-√2, -0.275): concava para baixo;
(-0.275, √2): concava para cima;
(√2, ∞): concava para baixo.
(-∞, -√2): concava para cima;
(-√2, -0.275): concava para baixo;
(-0.275, √2): concava para cima;
(√2, ∞): concava para baixo.
Passo 6
O único ponto de inflexão ocorre em
. Seu valor é
Logo ponto de inflexão em
.
Passo 7
Com todas essas informações, esboçamos o gráfico crescendo em cada intervalo, com assíntotas verticais em
, horizontal em
, passando pelo único zero de
em
e mudando concavidade conforme descrito.
Resposta
Assíntotas verticais: x=±√2
Assíntota horizontal: y=1
Crescimento: f é estritamente crescente em cada intervalo de seu domínio (sem extremos internos)
Ponto de inflexão: aproximadamente (-0.275,1.987)
Concavidade:
(-∞, -√2): côncava para cima
(-√2, -0.275): côncava para baixo
(-0.275, √2): côncava para cima
(√2, ∞): côncava para baixo
Esboço qualitativo: curva crescente, atravessa y=1 em x=-0.75, aproxima-se das assíntotas conforme descrito.
Assíntota horizontal: y=1
Crescimento: f é estritamente crescente em cada intervalo de seu domínio (sem extremos internos)
Ponto de inflexão: aproximadamente (-0.275,1.987)
Concavidade:
(-∞, -√2): côncava para cima
(-√2, -0.275): côncava para baixo
(-0.275, √2): côncava para cima
(√2, ∞): côncava para baixo
Esboço qualitativo: curva crescente, atravessa y=1 em x=-0.75, aproxima-se das assíntotas conforme descrito.