Encontre as assíntotas do gráfico de cada uma das funções a seguir, quando existir. Encontre também os pontos críticos e os pontos de inflexão das funções, caso existam. Faça um estudo do crescimento e da concavidade de todos os pontos da função e faça o esboço do gráfico.
f(x)=x^2-4 x-5x^2-2;

Passo 1

Temos a função f(x)=dfracx^2-4x-5x^2-2. Vamos estudar assíntotas, domínio, derivadas para crescimento e concavidade e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, o domínio é dado por x^2-2neq0, ou seja xneqpmraiz2. Isso já indica possíveis assíntotas verticais em x=raiz2 e x=-raiz2.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, comparamos os graus de numerador e denominador. Ambos são de grau 2, então há assíntota horizontal em y= razão dos coeficientes dos termos x^2, isto é, y=1.

Passo 4

A derivada primeira é
f'(x)=(2x-4)(x^2-2)-(x^2-4x-5)cdot2x(x^2-2)^2 = 4x^2+6x+8(x^2-2)^2
O numerador 4x^2+6x+8 tem discriminante negativo, logo é sempre positivo. O denominador é sempre positivo (quadrado). Logo f'(x)>0 para todo x no domínio: a função é estritamente crescente em cada intervalo. Não há pontos críticos internos ( f'(x)=0 não ocorre), apenas descontinuidade em x=pmraiz2.

Passo 5

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=-(8x^3+18x^2+48x+12)(x^2-2)^3
O numerador define um polinômio cúbico que zera aproximadamente em xapprox-0.275. Estudando o sinal de f''(x) em cada intervalo, obtemos:
(-∞, -√2): concava para cima;
(-√2, -0.275): concava para baixo;
(-0.275, √2): concava para cima;
(√2, ∞): concava para baixo.

Passo 6

O único ponto de inflexão ocorre em xapprox-0.275. Seu valor é
f(-0.275)approx(-0.275)^2-4(-0.275)-5(-0.275)^2-2approx1.987
Logo ponto de inflexão em (-0.275,1.987).

Passo 7

Com todas essas informações, esboçamos o gráfico crescendo em cada intervalo, com assíntotas verticais em x=pmraiz2, horizontal em y=1, passando pelo único zero de f(x)-1 em x=-0.75 e mudando concavidade conforme descrito.

Resposta

Assíntotas verticais: x=±√2
Assíntota horizontal: y=1
Crescimento: f é estritamente crescente em cada intervalo de seu domínio (sem extremos internos)
Ponto de inflexão: aproximadamente (-0.275,1.987)
Concavidade:
(-∞, -√2): côncava para cima
(-√2, -0.275): côncava para baixo
(-0.275, √2): côncava para cima
(√2, ∞): côncava para baixo
Esboço qualitativo: curva crescente, atravessa y=1 em x=-0.75, aproxima-se das assíntotas conforme descrito.

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