Sendo f(x)=x^{2}, calcule:
a) f(-1)
b) \mathrm{f}(\mathrm{O})
c) f(x+2)
d) f(x+h)-f(x)
e) \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=x^{2} e pede cinco coisas:
a) calcular f(-1)
b) calcular \mathrm{f}(\mathrm{O}) — vou interpretar \mathrm{O} como o número zero, ou seja 0 (se for outra coisa, não foi especificado)
c) calcular f(x+2)
d) calcular f(x+h)-f(x)
e) calcular \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
Informações relevantes: a função é a quadrática f(x)=x^{2}; para dividir por h na parte (e) precisamos ter h\neq 0 (caso contrário a divisão não faz sentido).

Passo 2

Como avaliar uma função num ponto: para calcular f(a) substituímos x por a na expressão de f(x). Aqui f(x)=x^{2}, então
f(-1)=(-1)^{2}.
Explicando o cálculo: (-1)^{2}=(-1)\cdot(-1)=1 porque o produto de dois números negativos é positivo. Logo
f(-1)=1.

Passo 3

Agora f(0). Substituímos x por 0 em f(x)=x^{2}:
f(0)=0^{2}.
E 0^{2}=0. Portanto
f(0)=0.

Passo 4

Para f(x+2) substituímos x por x+2 na expressão x^{2}:
f(x+2)=(x+2)^{2}.
Agora expandimos o quadrado do binómio usando a fórmula (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aqui a=x e b=2, então
(x+2)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+2^{2}=x^{2}+4x+4.
Logo
f(x+2)=x^{2}+4x+4.

Passo 5

Calculamos f(x+h)-f(x). Primeiro f(x+h) é
f(x+h)=(x+h)^{2}.
Usando novamente (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}, temos
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}.
Subtraindo f(x)=x^{2}:
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-x^{2}=2xh+h^{2}.
Note que os termos x^{2} cancelam.

Passo 6

Agora a razão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Usamos o resultado do passo anterior:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador ou dividindo termo a termo (lembrando que aqui precisamos de h\neq 0):
\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h.
Portanto
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h\quad\text{(para \(h\neq 0\)).}
Comentário didático rápido: essa razão é a diferença quociente usada para aproximar a derivada. Se você tomar o limite quando h\to 0, obtém a derivada f'(x)=2x. Por exemplo, se x=3 e h=0,1 então \dfrac{f(3+0,1)-f(3)}{0,1}=2\cdot 3+0,1=6,1.

Resposta

a) 1
b) 0
c) x^{2}+4x+4
d) 2xh+h^{2}
e) 2x+h

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