Dê o domínio das funções listadas a seguir:
g(x)=x^{2}-2 x^{2}+x-2

Passo 1

O enunciado pede: “Dê o domínio da função” dada. A função fornecida é
g(x)=x^{2}-2 x^{2}+x-2.
Informações relevantes: a expressão envolve somas, subtrações e potências (quadrado) de x. A tarefa é encontrar o conjunto de todos os valores de x para os quais g(x) está bem definida (o domínio).

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão para ficar mais claro com o que estamos lidando. Calculamos x^{2}-2x^{2}:
x^{2}-2x^{2}=(1-2)x^{2}=-x^{2}.
Portanto a função fica
g(x)=-x^{2}+x-2.

Passo 3

Agora vamos lembrar o que significa “domínio”. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a expressão que define a função faz sentido (está bem definida e resulta em um número real).

Passo 4

Observamos quais operações aparecem em g(x)=-x^{2}+x-2: multiplicação por constantes, soma/subtração e potência inteira positiva (quadrado). Essas operações são válidas para qualquer número real x. Não há divisão por x (que poderia causar problema quando x=0), não há raiz de índice par com radicando que poderia precisar ser não negativo, nem há logaritmo que exigiria argumento positivo. Logo não existem restrições sobre x.
Para comparar e entender por que aqui não há restrição, veja exemplos:
  • h(x)=\dfrac{1}{x} tem domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0\} por causa da divisão por zero.
  • r(x)=\sqrt{x-2} tem domínio \{x\in\mathbb{R}\mid x\ge2\} por causa da raiz quadrada.
    Nenhuma dessas situações aparece em g(x).

Passo 5

Como g(x) é um polinômio (expressão do tipo ax^{2}+bx+c), polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o domínio de g é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

\mathbb{R}

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