Sendo f(x)=5 x, calcule f(-3), f(8), f(x+h)-f(x) e \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=5x. Ele pede quatro coisas distintas:
  1. Calcular f(-3).
  2. Calcular f(8).
  3. Calcular f(x+h)-f(x).
  4. Calcular \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
As informações relevantes são apenas a expressão f(x)=5x e os valores/expressões em que devemos avaliar a função.

Passo 2

Como avaliar a função em um número: para encontrar f(a) basta substituir x por a na expressão f(x)=5x e fazer a multiplicação. Isso usa a regra básica de substituição de variáveis. Aplicando em a=-3:
f(-3)=5\cdot(-3).
Agora calculamos a multiplicação:
5\cdot(-3)=-15.
Logo f(-3)=-15.

Passo 3

Mesma ideia para f(8): substituímos x por 8 na fórmula f(x)=5x:
f(8)=5\cdot 8.
Fazendo a conta:
5\cdot 8=40.
Portanto f(8)=40.

Passo 4

Agora vamos calcular a diferença f(x+h)-f(x). Aqui x e h são símbolos (variáveis), então usamos a propriedade distributiva para avaliar f(x+h). Primeiro substituímos x por x+h:
f(x+h)=5\cdot (x+h).
Usando a distributiva a(b+c)=ab+ac, temos
5\cdot (x+h)=5x+5h.
Agora subtraímos f(x)=5x:
f(x+h)-f(x)=(5x+5h)-5x.
Cancelamos os 5x iguais:
(5x+5h)-5x=5h.
Logo f(x+h)-f(x)=5h.

Passo 5

Por fim calculamos o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Substituímos a expressão encontrada no passo anterior:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5h}{h}.
Aqui fazemos a simplificação por cancelamento do fator h. Atenção: essa operação só é válida quando h\neq 0, porque não podemos dividir por zero. Assumindo h\neq 0,
\frac{5h}{h}=5.
Portanto \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=5 para h\neq 0.

Resposta

f(-3)=-15
f(8)=40
f(x+h)-f(x)=5h
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=5

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