Sendo f(x)=4 x e g(x)=2^{x}, determine:
a) f^{-1}(g(x))
b) g\left(f^{-1}(x)\right)
c) f^{-1}(g(1))+g\left(f^{-1}(0)\right.

Passo 1

O enunciado dá as funções \,f(x)=4x, e \,g(x)=2^{x}, e pede três coisas:
  • (a) calcular \,f^{-1}(g(x));
  • (b) calcular \,g(f^{-1}(x));
  • (c) calcular o valor numérico de \,f^{-1}(g(1))+g(f^{-1}(0)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f é linear \,f(x)=4x.
  • A função g é exponencial \,g(x)=2^{x}.
  • Vamos precisar do inverso de f, isto é, da função f^{-1}.

Passo 2

O que significa achar f^{-1}?
Explicação didática: uma função inversa troca papéis de entrada e saída. Se \,y=f(x), então para obter f^{-1} escrevemos \,y=4x e resolvemos para x em função de y; a expressão resultante em y é f^{-1}(y). Isso porque f^{-1} deve pegar um valor de saída de f e devolver o valor original x.
Aplicando isso:
y = 4x.
Isolando x:
x = \frac{y}{4}.
Logo, trocando o nome da variável de volta para a notação usual da função inversa,
f^{-1}(x)=\frac{x}{4}.
Interpretação: para qualquer entrada t, f^{-1}(t)=t/4. Exemplo rápido: f(3)=12 e f^{-1}(12)=3.

Passo 3

Agora (a) calcular \,f^{-1}(g(x)).
Regra de composição que vamos usar: para compor f^{-1} com g, substituímos a expressão de g(x) na fórmula de f^{-1}. Temos \,f^{-1}(u)=u/4. Tomando u=g(x)=2^{x}, obtemos
f^{-1}(g(x))=\frac{2^{x}}{4}.
Podemos simplificar usando potências de 2: \,4=2^{2}, então
\frac{2^{x}}{4}=\frac{2^{x}}{2^{2}}=2^{x-2}.
Ambas as formas estão corretas; é útil conhecer as duas.

Passo 4

Agora (b) calcular \,g(f^{-1}(x)).
Mesma ideia de composição: primeiro escrevemos f^{-1}(x)=x/4 e depois aplicamos g a esse resultado, ou seja, substituímos a entrada de g por x/4. Como g(t)=2^{t}, temos
g(f^{-1}(x))=2^{\,f^{-1}(x)}=2^{\,x/4}.
Interpretação: a composição faz o expoente ficar escalado por 1/4.

Passo 5

Finalmente (c) calcular \,f^{-1}(g(1))+g(f^{-1}(0)).
Vamos calcular cada parcela separadamente, passo a passo.
Primeiro g(1):
g(1)=2^{1}=2.
Agora f^{-1}(g(1)):
f^{-1}(g(1))=f^{-1}(2)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Agora a segunda parcela: f^{-1}(0):
f^{-1}(0)=\frac{0}{4}=0.
E então g(f^{-1}(0))=g(0):
g(0)=2^{0}=1.
Somando as duas parcelas:
f^{-1}(g(1))+g(f^{-1}(0))=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}.

Resposta

a) f^{-1}(g(x))= \dfrac{2^{x}}{4}=2^{x-2}
b) g(f^{-1}(x))=2^{x/4}
c) \dfrac{3}{2}

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