Sendo
e
, determine:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá as funções
, e
, e pede três coisas:
- (a) calcular
; - (b) calcular
; - (c) calcular o valor numérico de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é linear . - A função
é exponencial . - Vamos precisar do inverso de
, isto é, da função .
Passo 2
O que significa achar
?
Explicação didática: uma função inversa troca papéis de entrada e saída. Se , então para obter
escrevemos
e resolvemos para
em função de
; a expressão resultante em
é
. Isso porque
deve pegar um valor de saída de
e devolver o valor original
.
Explicação didática: uma função inversa troca papéis de entrada e saída. Se
Aplicando isso:
Isolando
:
Logo, trocando o nome da variável de volta para a notação usual da função inversa,
Interpretação: para qualquer entrada
,
. Exemplo rápido:
e
.
Passo 3
Agora (a) calcular
.
Regra de composição que vamos usar: para compor com
, substituímos a expressão de
na fórmula de
. Temos
. Tomando
, obtemos
Regra de composição que vamos usar: para compor
Podemos simplificar usando potências de
:
, então
Ambas as formas estão corretas; é útil conhecer as duas.
Passo 4
Agora (b) calcular
.
Mesma ideia de composição: primeiro escrevemos e depois aplicamos
a esse resultado, ou seja, substituímos a entrada de
por
. Como
, temos
Mesma ideia de composição: primeiro escrevemos
Interpretação: a composição faz o expoente ficar escalado por
.
Passo 5
Finalmente (c) calcular
.
Vamos calcular cada parcela separadamente, passo a passo.
Vamos calcular cada parcela separadamente, passo a passo.
Primeiro
:
Agora
:
Agora a segunda parcela:
:
E então
:
Somando as duas parcelas:
Resposta
a)
b)
c)